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一、证明题

1． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布

则

【答案】二项分布因为而

所以当

的特征函数为

时，

则

正是泊松分布的特征函数，故得证.

间的相关系数分别为

且

令

证明:

两两不相关的充要条件为

则

同理可得

由此得必要性:若由此得

3． 设随机变量序列数，并求出c.

【答案】因为

且

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若

其中

2． 设随机向量

【答案】充分性:若

两两不相关.

两两不相关，则由上面的推导可知

独立同分布，且令试证明:其中c 为常

所以由切比雪夫不等式得，任对即再知即

的方差为

4． 证明:容量为2的样本

【答案】

有

5． 设

为独立随机变量序列，且

证明:

服从大数定律.

相互独立，且

由马尔可夫大数定律知 6． 设分统计量.

【答案】由几何分布性质知，

其分布列为

在给定

后，对任意的一个样本

有

是来自几何分布

的样本，证明

是充

服从大数定律.

由此可得马尔可夫条件

【答案】因为

该条件分布与无关，因而

是充分统计量.

个

和个

譬如

这个条件分布是离散均匀分布，可用等可能模型给其一个解释:设想有把它们随机地排成一行，并在最后位置上添上1个

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这n 个分布，且

把此序列分成n 段，每段中

的个数依次记为

这里诸

服从几何

我们指出，此种序列共有个（这是重复组合），而每一个出现这就是在

给定后

的

是等可能的，

即每一个出现的概率都是条件联合分布.

这个条件分布还表明:

当已知统计量

的值t 后，就可按此条件分布产生一个样本

它虽与原样本不尽相同，但其分布相同.

在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分统计量的真实含义.

7． 设随机向量

【答案】记标准化变量为

因为考虑到

故

所以

的协方差阵的行列式为

再由协方差阵的非负定性，可得

移项即得结论.

8． 设X 为非负连续随机变量，证明:对x ≥0,

有

【答案】设X 的密度函数为p （X ），则有

.

间的相关系数分别为

证明:

二、计算题

9． 盒中有n 个不同的球，其上分别写有数字

再抽. 直到抽到有两个不同的数字为止. 求平均抽球次数.

【答案】记X 为抽球次数，则X 的可能取值是又记此得

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每次随机抽出一个，记下其号码，放回去

且有

由

则服从参数为p 的几何分布，因此