2017年东北石油大学数学与统计学院705数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 用定义证明
：
【答案】先写出
当
具体到本题，由于
所以
取
当
时，有
即
2． 设当
时(x ) , 所以
者中至多有一个在x=0连续.
3． 证明下列各题：
(1) (2) (3) (i ) 在(4) (5)
(1) 因为【答案】一致收敛.
(2) 因为(3)
收敛，所以__所以
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的精确数学定义
.
和
时，有
而
从而
证明：两者中至多有一个在x=0连续.
因为
时
这与题设
矛盾. 故f 与g 两
【答案】反证法. 假设f (x ) 、g (x ) 都在x=0连续，
则
上一致收敛； 上一致收敛；
上一致收敛；
在
上不一致收敛；
上一致收敛； 上一致收敛。
收敛，所以
上
在上一致收敛. 上一致收敛.
(ii ) 取对任何
令
所以
(4) 而且(5)
在上不一致收敛.
收敛，所以
收敛，所以
上一致收敛.
上一致收敛. 证明：
4． 设f ，g 为定义在D 上的有界函数，满足
(1) (2)
【答案】(1)
设
是，是f (x ) 的一个上界，而
(2)
设
只需证
只需证
是f (x ) 的最小上界，故
因为对一切
因对一切
有
有
于是
于是
g (x ) 的一个下界，而是g (x ) 的最大下界，故
5． 证明
：
于区间
(其中由于
在
) 一致连续，但是于(0，1) 内不一致连续。 内连续，从而在
内一致连续，
则在区间
【答案】(1) 由于
内也一致连续。 (2) 利用定义，取
存在
取尽管有
(为定值)
但是
6． 设函数f 在
【答案】由是区间
，从而函数
上满足方程
知，对任给的因为
再由的任意性知，
所以
在区间(0，1) 内不一致连续。 且
存在正数M ，使得当所以存在正整数N ，使得
时
由
设得
有
证明，
中的任一数，由于
由的任意性知，对所有的
二、解答题
7．
求曲面
【答案】由于
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的面积，其中a ，b 是常数满足
所以曲面面积为
8． 求下列极限：
（1）【答案】⑴
（2）
9． 举出定义在
（1）只在（2）只在（3）只在【答案】
上分别符合下述要求的函数： 三点不连续的函数 三点连续的函数；
上间断的函数；
（2
）
（4）只在x=0右连续，而在其他点都不连续的函数.
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