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一、证明题

1． 证明：若函数在点

处有

【答案】

假设

使得

当

时

有

可知，存在

取

则当

使得当时，由

则为的极大(小) 值点。

及极限的保号性知，

存在

于是此时

有

时有

由

于是此时有

故为的极大值点。同理可证，

当

时，为f 的极小值点。

2． 若在区间I 上，对任何正整数n ，

证明：当【答案】因为意.

及任意

在I 上一致收敛时，级数有

从而由

得

所以，由柯西准则知，

级数

在I 上一致收敛.

在I 上也一致收敛.

总存在N>0, 使得当n>N时，对任

在I 上一致收敛，故对任给的

二、解答题

3． （1）问

【答案】（1

）因为

从而

即

是以1为周期的周期函数，其图像如图所示

.

图

（2）不一定.

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是否是周期函数？并画出它的图形（其中

所以

； ：表示的整数部分）

按

的定义，

即得

（2）两个周期函数之和是否一定是周期函数？

例如，函動

4． 计算：（1）数准确到

【答案】（1）由

就不是周期函数. （2）

准确到

取

得

故

解得

取

得

当

时，有

5． 将函数

在

上展开成余弦级数.

所以由收敛定理可得在

上

因此，

【答案】将f (x ) 作周期性偶延拓，得一周期为的连续偶函数

.

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6． 求下列函数的导数：

【答案】

7． 写出下列级数的乘积：

(1

)

【答案】(1)

级数

得第n 条对角线和

下面考虑n 的奇偶性

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(2) 与级数

在

时均绝对收敛，从而可按对角线相乘，