2017年东北石油大学数学与统计学院705数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】因为
由利用
判别法可判断，引理，由汙
则
令
2．
设函数
【答案】因为
只要
对固定的
区间的长度
故对上述则当
时，有
记
由式(1) , 有
本题亦可用反证法予以答: 若结论不对，则存在记由
在_
则
由，对
，相应地存在
使得
上一致连续可知，对上述
第 2 页，共 23 页
证明：当时，有收敛，且有界，：收敛.
单调递减且
由题设条件知
收敛，即得
取极限得在
在
结论得证.
上一致连续，
且
上一致连续，所以
，就有
且为正整数，将
区间等分. 记分点
则每个小
，
有
(n 为正整数). 试证
：
取
由已知条件，对每个当
时，有
因
为
再由式(2) , 有
_
故使
得
的有界性知，它存在一个收敛子列，不妨设为它本身，满足
只要
就有
于是，当充分大时，有
从而有
由此可得
这与
3． 设
证明
的假设矛盾.
并说明其中等号何时成立.
【答案】由于
因此
当且仅当
即记
【答案】f 在R 上连续. 答:(1) 证法一，因为
而f (x ) 、c 连续，由连续函数的代数运算知，F (x ) 在R 上连续. (2) 证法二，设
则u (x ) 处处连续，又因为f (x ) 连续，由连续函数的运算法则知，复合函数是连续的.
(3) 证法三，直接用连续函数的定义证明.
设
时，
设时若
则
且
所以
第 3 页，共 23 页
时，原不等式中的等号成立.
4． 设f 为R 上连续函数，常数
也
时，显然F (x )
在连续.
当
因为f (x )
在
若
连续，
所以
则
当
由F (x )
的定义知
所以
因此当对
时，总有
同样可得，故
在连续. 时有
则有
5． 设f 为可导函数，证明：若
【答案】由复合函数求导法则，有
由题设 6． 设
【答案】由
知
且
又因为
有下界的. 所以，
数列边求极限，得到
收敛.
令
解得
由
或
知
即
数列
是单调递减
两
(极限保号性) . 对
时得
证明：数列
收敛，且其极限为
即
故
舍去负根，因此
二、解答题
7． 求不定积分
【答案】注意到
设
由（1）式，则有
由此解得
第 4 页，共 23 页