2017年东华理工大学理学院617数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1. 求证:
(1) (2)
【答案】(1) 已知序列
严格递増,且
又设再根据
显资
项的平均值不等式,有
联合
与
式即得
(2)
记
由第(1) 小题结论,有
再由第(1) 小题结论,有
即有下界,从而极限
2. 证明不等式
【答案】作
则
所以
在
上严格单调减少,
而
存在.
因此,在
3. 设
上,有即在上一致连g
若
是中的柯西列,则
且
存在正整数
存在
虽然
,
因
当
时有
时有但
在有限区间上有定义. 证明:
对
设
从而若
由
即
在上非一致连续,则
. 由
故
中相应的子列
池是柯西列.
【答案】
在上一致连续,则
为柯西列
.
对
有界,因此
是中的柯西列,
则对上述的
中存在收敛子列
也收敛于相同的极限,
从而穿插之后序列亦收敛,即为柯西列,
但其像序列
恒有
4. 设
在
,不是柯西列,矛盾. 所以
上三阶可导,证明存在
使得
在上一致连续.
【答案】则有使得
即
5. 设级数
收敛,证明
【答案】因为
收敛,即
在在
且
故
单调且一致有界,又级数在
上一致收敛,
又
连续使用柯西中值定理,
上一致收敛,所以由阿贝尔判别法知,上连续,故
上也连续,即
6. 设
在上二次可微,且
证明:
【答案】及任意的实数h ,由泰勒公式,有
将上两式相减得
所以
固定h , 对上式关于x 取上确界,可得
上式是关于h 的二次三项式,由其判别式
可得
二、解答题
7. 试确定a 的值,使下列函数与当
时为同阶无穷小量:
【答案】(1)当
时,
因而
故当(2)
当
时
即当(3)
于是当
时,
故当(4)
时.
当时为同阶无穷小量.
时.
与当时为同阶无穷小量.
时,
上1时为同阶无穷小量