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2017年东华理工大学理学院617数学分析考研题库

  摘要

一、证明题

1. 求证:

(1) (2)

【答案】(1) 已知序列

严格递増,且

又设再根据

显资

项的平均值不等式,有

联合

式即得

(2)

由第(1) 小题结论,有

再由第(1) 小题结论,有

即有下界,从而极限

2. 证明不等式

【答案】作

所以

上严格单调减少,

存在.

因此,在

3. 设

上,有即在上一致连g

是中的柯西列,则

存在正整数

存在

虽然

时有

时有但

在有限区间上有定义. 证明:

从而若

在上非一致连续,则

. 由

中相应的子列

池是柯西列.

【答案】

在上一致连续,则

为柯西列

.

有界,因此

是中的柯西列,

则对上述的

中存在收敛子列

也收敛于相同的极限,

从而穿插之后序列亦收敛,即为柯西列,

但其像序列

恒有

4. 设

,不是柯西列,矛盾. 所以

上三阶可导,证明存在

使得

在上一致连续.

【答案】则有使得

5. 设级数

收敛,证明

【答案】因为

收敛,即

在在

单调且一致有界,又级数在

上一致收敛,

连续使用柯西中值定理,

上一致收敛,所以由阿贝尔判别法知,上连续,故

上也连续,即

6. 设

在上二次可微,且

证明:

【答案】及任意的实数h ,由泰勒公式,有

将上两式相减得

所以

固定h , 对上式关于x 取上确界,可得

上式是关于h 的二次三项式,由其判别式

可得

二、解答题

7. 试确定a 的值,使下列函数与当

时为同阶无穷小量:

【答案】(1)当

时,

因而

故当(2)

即当(3)

于是当

时,

故当(4)

时.

当时为同阶无穷小量.

时.

与当时为同阶无穷小量.

时,

上1时为同阶无穷小量