2017年东华大学理学院601数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数
在
|上连续，在
内可微，又
不是线性函数. 证明：
【答案】过点
显然
，
不妨设
则有
由拉格朗日中值定理，
使
当当
于是，总存在
时，有时，有
使
2． 设是集合E 的全体聚点所成的点集，
【答案】因为是的一个聚点，所以
是P 的一个聚点. 试证：自
设
又因为以
.
3． 设
在有限区间上有定义. 证明：
对
由
在上一致连g
若
是中的柯西列，则
且
时有
因此
.
即
是E 的一个聚点，所
又因为是
与
的直线方程为
由
于
不是线性函数，故存在
点
，
使使
集合E 的全体聚点所成的点集，因此是E 的一个聚点. 所以
池是柯西列.
【答案】
在上一致连续，则
设
从而
若
是中的柯西列，
则对上述的
即
为柯西列
.
对. 由
有界，因此
存在
存在正整数
虽然
当
时有但
，
因
在上非一致连续，则
故
中相应的子列
中存在收敛子列
也收敛于相同的极限，
从而穿插之后序列亦收敛，即为柯西列，
但其像序列
恒有
4． 设a>0，b>0, 证明
：
【答案】构造函数
，不是柯西列，矛盾. 所以
在上一致连续.
展开可以证明，
所以又因为
所以原命题成立.
5． 设
为无穷小数列，
为有界数列，证明：存在正整数N ,
当所以
6． 证明
【答案】对任意的函数
在取
递增.
为无穷小数列.
又因为
为无
时，
有为无穷小数列.
因此，当n>N时
，
【答案】因为有界数列，故存在M>0, 使得对一切正整数n ，有
故
穷小数列，
所以对任给
由不等式
得
. 限制’
时
，
时，
有
即
. 当
时，其
中故
上是严格减函数. 于是
当
，
则当
二、解答题
7． 确定常数
【答案】
于是
欲使
为三阶无穷小量，必须有
使当
时
，
为x 的3阶无穷小.
解之得
8． 已知g 为可导函数，a 为实数，试求下列函数f 的导数：
【答案】
9． 将下列函数展开成麦克劳林级数：
(1) (2) (3) (4) (5) 【答案】⑴而
所以当
时，有
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