2017年东华理工大学理学院617数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f ，g 为D 上的非负有界函数. 证明：
(1) (2)
【答案】(1) 对任意
于是
所以
(2) 对任意
于是
所以
2． 若函数
满足恒等式
则称
为次齐次函数，
试证下述关于齐次函数的欧拉定理：可微函数并解
为2次齐次函数.
【答案】(1) 必要性由令
则有
为k 次齐次函数的充要条件是：
两边对求导得
充分性设令
由已知，得
求
关于的偏导数得
于是
仅是
的函数，记
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所以
(2) 因为
3． 试应用
定义证明
令
所以
肘，
因此
为2次齐次函数.
【答案】因为当从而对任给
取
则当
时，
所以
4． 证明下列等式：
【答案】(1) 令
则
于是
(2) 由
可知
是瑕点. 令
则当
时，
由⑴得
5． 设
证明函数.
存在惟一的零点.
所以存在
之间至少存在一个零点. 又因
使
所以f (x ) 在
则由f (x ) 显然
上单调
【答案】因为连续知，f (x ) 在.
递増，所以f (x ) 存在惟一的零点. 6． 设
，
且
求证
：
【答案】改写
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二、解答题
7． 已知数列
【答案】
（舍去）
8． 设数列
回答:（1）若（2）若
满足：
有界，则
也有界； 有界知，存在
使得
由递推关系式可知，
收敛，则
由此可知，（2）设
有界. 则
当
时，
即
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的极限存在，求此极限.
也收敛.
【答案】（1）由己知条件
于是有