2018年太原科技大学应用科学学院601数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设f （x ）在
（1）
上连续, 满足: 时, f （x ） >0;
. 由于f （x ）在S 上连续, 根据连续函数的性质, f （x ）
, 那么
或
2． 设
【答案】设又又
在
, 计算
则, 故级数上连续, 故由定理知
3． 设
【答案】对于故
对于下和s , 由于可积.
4． 设
2
（2）对任意x 和正常数c , f （cx ） =cf （x ）. 求证:存在a>0, b>0, 使得【答案】考虑有界闭集若记
,
必在S 上的x 1和x 2点分别取到它在S 上的最大值f （x 1） 和最小值f （x 2）.
, 所以
.
故
收敛, 从而
在
在
上一致收敛.
上是单调递减的,
’试求f 在[0, 1]上的上积分和下积分; 并由此判断f 在[0, 1]上是否可积. 的任意分割T , 在间
上,
, 所以有
, 所以s=0.由于, 所以由定理知f （x ）在[0, 1]上不
求它在（1, 0）点的偏导数.
, 同样因. , 所以
,
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【答案】方法一 因f （x , 0）=x, 所以方法二 因
, 所以. , 同样因
.
得,
可见求具体点的偏导数值时, 第一种方法较好.
5． 求出下列极限, 并指出哪些是无穷小数列:
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
可得到以下结果:
中取中取中取中取中取中取中取
得得得得得得得
【答案】根据数列极限（1）在（2）在（3）在（4）在（5）在（6）在（7）在
6． 设
⑴求（2）计算
;
.
为奇点. 记
则
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其中（1）、（3）、（4）、（5）中的数列是无穷小数列.
【答案】（1） x=1和
显然当x →1时当对积分
时,
与均在
.
在
上收敛.
,
上连续. 对积分,
由此可知,
由判别法可知
,
在
,
及
的收敛性,
利用M
上关于一致收敛. 于是, 由可微性定理, 有
（2）因为此时
,
注意到g （0） =0, 于是当
, 所以 时, 有
是关于的奇函数,
因此只需考虑
的情形即可.
故
二、证明题
7． 设
, 指出f （x ）的所有间断点, 并讨论它们的类型.
.
时,
. , 但
故x=0为第二类间断点;
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【答案】f
（x ）可能的间断点为对x=0, 取
,, 则当