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一、计算题

1． 设

【答案】

2． 求函数

在该点切线方向导数.

【答案】因曲线过点（1, 2, ﹣2）, 所以M 的切线方向的方向余弦为:

而

故所求方向导数为:

3． 试问如何把定义在的形式:

（1）（2）

【答案】（1）将在即

对上述延拓再作偶延拓,

使

上为偶函数, 且为满

足

故其傅里叶级数的形式为

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为由方程所确定的可微隐函数, 求gradz.

在点M （1, 2, ﹣2）处沿曲线

于是

故曲线在点

上的可积函数f 延拓到区间

上定义的可积函数f 作延拓, 使

时, 满足

内, 使它们的傅里叶级数为如下

及

则此时所得的延拓函数在

的可积函数, 从

而

已

知

（2）将f （x ）作一奇延拓,

使

及

且满足

时, 从而

时满足

对该延拓再作一奇延拓, 使

上的可积奇函数,

故其傅里叶级数的形式为

4． 抛物线

【答案】设圆故

把圆

分成两部分, 求这两部分面积之比.

表示另一部分的面积, 则

面积为

于是

则此时所得的延拓函数是在

（n=0,

1, 2

, …）,

已知

表示图中阴影部分的面积,

图

5． 设有一吊桥

, 其铁链成抛物线形, 两端系于相距100m 高度相同的支柱上, 铁链之最低点在悬点下10m 处, 求铁链与支柱所成之角.

【答案】建立如图所示的坐标系, 则悬点A , B的坐标分别为链的方程为

于是

, 铁链与支柱所成之角

和

. 由此得铁

图

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6．

设是可微函数, 求其中

【答案】将已知等式两边对x 求导得

将

代入,

可解得

再将

代入, 得

二、证明题

7． 证明:设

则

甶D 上无界的充要条件是存在

所以

当 有

这说明

证明:

使

时, 有

【答案】充分性 因为这说明时, 存在点

在D 上无界.

在D 上无界, 所以

有

必要性 因为因此, 当取

8． 设f , g 为定义在D 上的有界函数, 满足

（1）（2）

【答案】（1）设于是, 是（2）设于是是

的一个上界, 而是

只需证

的一个下界, 而是

只需证

因对一切

, 有

有

的最小上界,

故

. 因为对一切的最大下界, 故

9． 设f 为定义在D 上的有界函数, 证明:

【答案】设使得

即

则对一切

有所以

即

对任意

存在

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