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一、证明题

1． 设f （x ）在

证明:【答案】

及任意的实数h , 由泰勒公式, 有

在x 与x+h之

间

,

将上两式相减得

所以

固定h , 对上式关于x 取上确界, 可得

上式是关于h 的二次三项式, 由其判别式

2． 设f 为

使

在,, 则存在

于是假设不存在对

3． 设f 在[-a, a]上可积. 证明:

（1）若f 为奇函数, 则（2）若f 为偶函数, 则【答案】因为

对右边第一个积分作代换x=—t , 则得

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上二次可微, 且

在x 与x-h 之间

可得

上的二阶可导函数, 若f 在上有界, 则存在,

【答案】先证

上不能恒为正, 也不能恒为负. 用反证法, 假设恒有

, 使得（介于

之间）.

,

, 这与假设矛盾, 故原命题得证. 设

. 由泰勒定理得,

, 这与f （x ）在

使

应用达布定理可知, 存在

上有界矛盾. 再用反证法证明原命题.

. 则存在a 、b , 使得

使得

于是

（1）若f （X ）为奇函数, 则（2）若f （x ）为偶函数, 则

4． 证明:若S 为封闭曲面, l 为任何固定方向, 则

【答案】设n 和l 的方向余弦分别是由第一、二型曲面积分之间的关系可得

由l 方向固定,

都是常数, 故

, 由高斯公式得

5． 证明关于函数

（1）当（2）当【答案】即

（1）当（2）当

时, 式（*）两边同乘以x , 得到时, 式

两边同乘以x , 得到

时, 时,

的如下不等式:

和

其中n 为曲面S 的外法线方向.

, 则

,

故, 故

是不超过的最大整数, 因此

二、解答题

6． 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出它们的聚点与有界点:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）

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（9）

【答案】（1）经判定可知该点集是有界集, 也是区域, 但既不是开集又不是闭集. 其聚点为中任一点. 界点为矩形[a, b] ×[c, d]的四条边上的任一点.

（2）该集为开集, 不是有界集也不是区域, 其聚点为平面上任一点, 其界点为两坐标轴上的点. （3）该集为无界闭集, 不是开集不是区域, 其聚点为坐标轴上的任一点, 而界点与聚点相同. （4）该集为开集, 且为区域,

聚点为满足集内的任一点和任一界点.

（6）该集为有界闭集, 聚点为闭集中任一点, 界点与聚点相同. （7）该集为有界闭集, 聚点为集合中除去x +y＜1部分.

（

8）该集为闭集,

没有聚点, 界点为集合

7．

求极限

【答案】方法一:令

, 则有

当

时,

故有

因此方法二:当

时,

是无穷小量.

由此即得

8．

流体流速

.

S

求单位时间内穿过

球面

（x>0, y>0, x>0）的流量.

均为整数）中的全体点.

上的点,

界点与聚点相同.

（9）该集为非开非闭的无界集, 聚点为点（0, 0）及曲线

2

2

上任一点, 界点为上的所有点.

（5）该集为有界开集, 界点为直线x=2, y=2和x+y=2所围成的三角形三边上的点, 聚点为开

或中的所有点, 界点为聚点

【答案】设S 为所给球面, S 1, S 2, S 3是S 在三个坐标面上的投影面, 则有

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