2018年浙江师范大学教师教育学院904数学分析与高等代数[专业硕士]之数学分析考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 讨论下列函数在点（0, 0）的重极限与累次极限:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）
趋于定点（0, 0）时,
这说明动点沿不同斜率的直线趋于原点时, 对应的极限值均不同, 因此, 函数时的重极限不存在, 但累次极限:
（2）函数的两个累次极限都不存在. 又
故
可见函数
的重极限存在且为零.
所以,
函数
的两个累次极限存在且相等,
由于
故
（4）累次极限为:
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【答案】（1）当动点（x , y ）沿着直线
当
（3）函数的累次极限为:
从而
. 不存在.
因此, 函数的两个累次极限存在且相等. 现让动点沿着曲线
向（0, 0）点移动
.
故函数的重极限不存在.
不存在.
（5）累次极限为:
又可见函数
（6）累次极限为:
故
的重极限存在且为零.
故函数当沿
的两个累次极限存在且相等. 趋于（0, 0）时,
当（x , y
）沿（7）累次极限为:
不存在,
不存在,
即函数
的两个累次极限均不存在, 当动点（x , y ）沿x 轴正向趋于（0, 0）时,
趋于（0, 0）时,
可见重极限
不存在.
不存在, 故函数的重极限也不存在.
2． 计算下列第二型曲面积分:
（1）（2）
其中
是闭曲面（3）（4）其中为锥面有连续导数;
（5）
,
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其中为锥面的外侧;
, 取外侧;
, 其中是抛物面
,
和球面
, 方向取上侧;
所围立体表面的外侧, f （u ）具
其中是三维空间中xy 平面上的曲线段侧;
（6）
绕y 轴旋转而成的曲面, 方向取右
, 其中是平行六面体
的表面并
取外侧, f （x ）, g （y ）, h
（z ）为上的连续函数;
（
7
）
【答案】（1）补充平面公式得
而
所以
（2）闭曲面是由八个平面侧, 由高斯公式得
令
区域
在此变换下变为区域由对称性知, 原式=（3）用
表示以原点为中心、
,
则
为半径的上半球面, 取上侧,
取充分小
, 使在的内部. 记
的部分, 取下侧,
表示曲面
围成
组成, 其围成的立体为, 取外
,
其中为椭球
的表面, 取外侧.
, 取其上侧, 设与
围成的区域为
则由高斯
为平面z=0上满足的区域, 则由高斯公式得
而
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