2018年长沙理工大学数学与计算科学学院703数学分析考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设f （x ）在
【答案】由f （x
）在
时
有其中
. 对任意, 因f （x ）在
存在整数n , 使得
上有界, 所以存在M>0,
使得
,
.
上一致连续, 则存在非负实数a 与b , 使得对一切
上一致连续,
所以对
,
当
均有
,
且
因此, 当n 为正整数时有
当n 为负整数时有
由
知
, 代入上式得
记
, 则a>0, b>0, 使得
.
2． 设一质点受力作用, 力的方向指向原点, 大小与质点到xy 平面的距离成反比, 若质点沿直线x=at, y =bt, z=ct （
）, 从 M （a , b , c ）到 N （2a , 2b , 2c ）, 求力所作的功.
其中
力的三个分力为
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【答案】设比例系数为k , 则点到xy 平面的距离为Z , 故因为力的方向指向原点, 故其方向余弦为
3． 把长为1的线段截为两段, 问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大?
【答案】设一段长为x , 则另一段长为1－x , 矩形的面积为由
得
, 又因为
, 故
矩形面积最大.
4． 求下列函数的导数:
（1）
（2）y=y（x ）为可导函数, （3）（4）
存在, y=f（x+y）,
求
, 求y’;
确定, 求
:
, 试用f , f 〃（X ）
;
, 求y’;
, 求y’（0）;
于是,
,
是f （x ）的极大值点. 因此当两段长度均为时,
（5）y=y（x ）由关系式y=f（6）（x ）在点x 三阶可导, 且（x ）
以及
（7）（8）
【答案】 （1）
,
求
.
表示
若f （x ）存在反函数
, 求及;
（2）对等式两边关于x 求导得
当x=0时, 由原方程解得y=0, 将x=0, y=0代入上式得（3）令u=x+y, 则y=f（U ）,
于是
, 解得
（4）易知对
两边取对数得
两边再关于X 求导得
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.
.
于是
（5）对等式即
于是由参变量函数求导法知
两边关于t 求导得
当t=0时, 易知又
*
所以（6）
,
从而
.
,
*
（7）由题知
存在, 所以
在点a 的某邻域内有定义且连续, 于是
（8）
, 于是有
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