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一、证明题

1． 设f , g :

（1）（2）

【答案】（1）因为当故（2）因为

时, 有若

则. 所以对

等价于

. 利用不等式, 有

这表明

, 当

即

故 2． 设

【答案】

故

3． 利用导数定义证明

:

【答案】

.

在x=0连续. 由

, 可知g 在x=0不连续.

, 证明:复合函数

在x=0连续, 但g 在x=0不连续.

.

, 即b=0时可逆.

时, 有

所以

,

.

,

, 且当b = 0时可逆;

, 证明:

4． 若是[a, b]上的连续函数列, 且

, 使在任意闭区间

, 数列都有界.

上都非一致有界, 即

试证明:

存在闭区间【答案】用反证法. 假设使

因为函数的保号性,

又因为使

由

且

在

在[c, d]上一致有界.

在[a, b]上非一致有界, 所以对k=1,

, 使得

上非一致有界, 所以对由连续函数的保号性

,

.

, 满足

其中

,

使

无界. 这与已知条件矛盾. , 其中

,

即数列

, 有

且且

使

.

. 由连续

. , 使

得,

有

如此下去, 可得一个闭区间列且

,

无界, 则数列

5． 设

, 有

由闭区间套定理

, 的某一个子列

与v （y ）为[0, 1]上连续函数, 证明【答案】当

时,

由各项被积函数及其对x 偏导函数都连续, 所以

二、解答题

6． 设

【答案】令

即

, 求f （x ）.

. 则

7．

在

得

上把下列函数展开成傅里叶级数

【答案】

易知f （x ）是

上的偶函数，故b n =0根据傅里叶级数展开式的系数公式可

所以

故其傅里叶级数为

8． 判别下列积分的收敛性:

【答案】令（1）原积分=敛,

时发散. （2）原积分=

9

． 求下列均匀密度物体的质心:（1）的四面体.

【答案】（1）设物体质心为

, 由对称性知:

（2）设四面体的质心坐标为

, 由于物体密度均匀, 且

因此

,, 当2m －1<1时收敛,

时发散, 即当m<1时收

, 所以当ml时发散.

（2）由坐标面及平面

x+2y—z=1所围