2018年浙江师范大学教师教育学院904数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 在曲线x=t, y=t, z=t上求出一点, 使曲线在此点的切线平行于平面x+2y+z=4,
【答案】对曲线上任意一点（x , y , z ）, 有设曲线在即
2． 设函数
求: （1）
（2）
【答案】 （1）（2）
3． 设f 为区间, 上严格凸函数. 证明:若
为f 的极小值点, 则x 0为在I 上惟一的极小值点.
, 不妨设
因此, 对于任意
的
, 只
要
充分接近0, 总
有
但
是
, 这与是f 的极小值点矛盾. 故x 0是f 在I 上的惟一极小值点.
, 由f 是I 上的严
处的切线平行于平面x+2y+z=4, 则有
解之得
或
所以所求点为（﹣1, 1, ﹣1）或
2
3
【答案】反证法. 若f 有异于x 0的另一极小值点格凸函数知, 对任意
总有
4． 设f （x ）在区间I 上连续, 并且在I 上仅有惟一的极值点x 0, 证明:若而是f 的极大（小）值点, 则x 0必是f （x ）在I 上的最大（小）值点.
【答案】用反证法, 只对x 0是f 的极大值点的情形进行证明. 假设x 0不是f （x ）在I 上的最大值点, 则存在一点在
,
使
, 使得,
取
（不妨设
,
则当
. 由连续函数的最大最小值定理知, （f x ）
）
时
,
,
即
是f
上存在最小值m.
因为
, 而x 0是f （x ）的一个极大值点,
所以存在
（x ）的一个极小值点, 这与在I 上仅有惟一极值点x 0矛盾. 故原命题成立.
5． 计算
【答案】设
, 其中为曲线
, 因为
所以积分与路径无关.
取积分路径为从（1, 1, 0）到（1, 1, 1）的直线段, 则
6． 利用定积分求极限:
（1）（2）（3）（4）
;
.
从（1, 1, 0）到（1, 1, 1）的部分.
【答案】（1）把极限化为某一积分的极限, 以便用定积分来计算, 为此作如下变形:
这是函数
,
而
在区间[0, 1]上的一个积分和的极限. 这里所取的是等分分割,
恒为小区间
的右端点,
（2）
所以有
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不难看出
, 其中的和式是函数
在区间[0, 1]上的一个积分和. 所以有
（3）
（4
）
7． 利用迫敛性求极限:（1
）
【答案】（1）因为于是
而
由迫敛性得
（2）因为
所以当
时
又因为
（2
）所以当
时