2018年苏州大学数学科学学院618数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设f =f. 证明:对任意正整数n , 存在（x ）在[0, 1]上续, f （0）（1）
【答案】若n=1, 则取连续. 由
f （0）=f（1）知
若若
, 则取不全为0, 则必有两点
中任一点即可;
, 使得
由根的存在定理,
, 使得
, 即
.
.. ,
即可. 若n>1, 令
使得, 则F （x ）在
. 上
2． [1]设函数f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可微, 又f （x ）不是线性函数. 证明:使
[2]设f （x ）在[0, 1]上可导, 且内存在一组互不相等的数
使得
为n 个正数. 证明在区间[0, 1]
【答案】过点（a , f （a ））与（b , f （b ））的直线方程为
9
=f=f. 由于f , g 显然, g （a ）（a ）（b ）（b ）（x ）不是线性函数, 故存在点不妨设
, 则有
由拉格朗日中值定理,
时, 有
, 使
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, 使.
和, 使
, 取,
取
; .
当
于是, 总存在
当f （a ）>f（b ）时, 有
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[2]
用上例的思路来证明之. 令
以及
显然可以求得一点又可求得一点
使得
在每一个小区间即
亦即
将上式对i 从1到n 求和, 可得
3． 设f , g 为定义在D 上的有界函数, 满足
（1）（2）
【答案】（1）设于是, 是（2）设于是是 4． 证明:
对
成立.
这样就将问题转化为求令
解之可得, 在D 的内部有惟一驻点（1, 1）, 且
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.
取
使使
. 再在. 总之, 我们有
在[0, 1]上对f （x ）应用介值定理, 上对f （x ）应用介值定理,
.
, 使得
. 如此下去,
可以求出
上, 对
f （x ）应用拉格朗日中值定理, 存在
证明:
只需证
只需证
的一个下界, 而
是
因对一切
, 有
有
的一个上界, 而是
的最小上界, 故
. 因为对一切的最大下界, 故
【答案】将原不等式变形为
在区域
上的最大值.
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注意到, 和,
,
所以f （x , y ）在D 的内部最大值为下面求f （x , y ）在D 的边界上的最大值. 在y=0上, 令最大值为
; 可得驻点
.
此时f （0, 0）=0, . 因此, f （x , y ）在y=0上的
, 即
同理, f （x , y ）在x=0上的最大值为
5． 设a>1, b>1为两个常数, 定义在
有
【答案】由由及对故
, 当
可推得
时,
有
. 证明:
. 综上, f （x , y）在D 上的最大值为
上的函数f （x ）在x=0附近有界, 且对
.
, 而b>1知f （0）=0, 故只需证明
, 于是取
, 当
时有
, 从而
（n 为任意正整数）, 而f （x ）在x=0附近有界,
所以
, 由b>1可知存在正整数N , 使得
二、解答题
6． 求下列方程组所确定的隐函数组的导数.
（1）（2）
（3）
,
求求,
求
对方程组两边x 求导, 得
解此方程组得
（2）方程组关于x 求偏导, 得
解得:
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【答案】（1）设方程组确定的隐函数组为