2018年武汉工程大学计算机科学与工程学院601数学分析之数学分析考研核心题库
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一、证明题
1． 证明下列各式:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【答案】（1）于是（2）由于于是（3）由（4）因为
所以（5）（6）设
则
于是
故
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由函数极限的局部有界性知,
由函数极限的局部有界性知,,
1知
在
内有界,
在
内有界,
即
于是, 在某个
内
有界, 故
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（7）设
, 则
于是
故
2． 证明:若数列
（1）（2）
【答案】（1）因为时,
于是
由此得, 当n>N时, 由（2）因为
在正整数N , 使得当n>N时,
知
是无穷大数列, 所以
, 设r 是一个满足不等式
于是, 当n>N时,
因为r>1, 所以
3．
证明:
（1）无穷积分（2）无穷积分【答案】利用级数法. （1）原积分
而
当
时有
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满足下列条件之一,
则
, 令
, 所以对于
, 存在正整数N , 使得当n>N
是无穷大数列:
也是无穷大数列.
的实数, 由数列极限的保号性知, 存
是无穷大数列. 因此
, 是无穷大数列,
即是无穷大数列.
发散; 收敛.
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故
由
发散, 可知
发散, 从而原积分发散.
（2）类似于（1）, 有原积分而
当
时利用不等式
, 有
9
故
由
4． 已知
收敛, 可知
收敛. 同理可证
都是可微的,
【答案】因为
故原式成立.
5． 确定常数a , b , 使当
证明:
,
【答案】
于是
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收敛, 从而收敛. 由此可知, 原积分收敛.
, 2. 证明:
时
, 为x 的3阶无穷小.