2018年太原科技大学应用科学学院601数学分析考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 把函数
展开成傅里叶级数, 并由它推出 （1）（2）（3）
【答案】函数f 及其周期延拓函数的图像如图所示
.
图
显见f （x ）在
内按段光滑, 由收敛定理, f（x ）可展开为傅里叶级数, 因为
所以.
时
当x=0时, 上式的右端收敛到0. （1）当
时, 由于
因此
（2）因为所以
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（3
）
时,
因
故
所以
2．
设
【答案】设又又
在
, 计算
则,
故级数上连续, 故由定理知
3．
设
【答案】因为
, 试求极限
, 所以
4． 计算积分
【答案】内层积分积不出来, 不妨换一求积次序. 为此由所给积分限画出积分区域D 的图形（见图）:
.
故
收敛, 从而
在 在
上一致收敛
. 上是单调递减的,
图
于是
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5． 设函数
u=f（x , y
）在
【答案】首先证明若对上任意两点所以由因而
.
对x 的任意性, 知
, 从而
所以
6． 设f
是一元函数, 试问应对f
提出什么条件,
方程2f （xy ）=f（x ）＋f （y ）在点（1, 1）的邻域内就能确定出惟一的Y 为z 的函数？
【答案】设且
因此只需
在x=﹣l 的某邻域内连续, 则F , F x , F y 在（1, 1）的某邻域内连续. 所以, 当
时, 方程
在
x=l的某邻域内连续, 且
就能惟一的确定y 为x 的函数.
, 则
）与x 无关, 即, 据上述结论知,
.
.
上有
在
, 试求u 关于x , y 的函数式. 上连续
, 则
由中值定理
再求u 关于x , y 的函数式. 因
二、证明题
7． 设常数A , B
,
C
满足
, 且线性变换
变为方程证明:
. 其中u （x , y）具有二阶连续偏导数. 为方程
的两个不同实根.
, 于是
同理
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把方程
【答案】由已知得关系式