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一、计算题

1． 求极限

.

【答案】用连续性定理来求解. 将离散变量n 改成连续变量, 即令

显然, f （x , y ）在

原极限=

2． 验证下列等式, 并与（3）、（4）两式相比照

（1）（2）（3）式为（4）式为【答案】（1）因为（2）因为

, 由（1）可知

, 所以

. 它是对f （x ）先求导

它是对f （x ）先微分后积分, 则等于f

上连续, 由连续性定理, 有

再积分, 等于f （x ）+C, （3）式是对f （x ）先积分再求导, 则等于（x ）+C; 而（4）式是对f （x ）先积分后微分, 则等于f （X ）dx.

3． 计算五重积分

其中V :

【答案】当n=5时, 取m=2, 则

4． 设F （x , y , z ）可以确定连续可微隐函数:x=x（y , z ）, y=y（z , x ）, z=z（x , y ）试证:

（偏导数不再是偏微分的商! ）

【答案】因为

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, 所以

5． 求下列极限:

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）由可得

于是

而（2）当

由迫敛性得时,

于是,

又因为

故由迫敛性得:

（3）因为因而有（4）令

所以

于是又因

则有

于是

6． 设

【答案】由于

因为求dz.

可微，故

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由此可知,

, 由迫敛性可得

所以

7． 将函数展开为傅氏级数.

【答案】因为f （x ）是奇函数, 所以

因为f （x ）逐段单调, 所以

8． 求由分的区域, 则

作广义球坐标变换:

所围的立体的体积.

上, 用

表示位于第一卦限部

yOz 平面对称. 在上半空间【答案】显见立体关于xOy 平面、

故

9． 设a

【答案】方法一:由配方得到

*

其中原式

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.

. 作变量代换, 则有