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一、证明题

1．

若把定理中一致收敛函数列上的极限函数在[a, b]上也可积.

【答案】对[a, b]任作一分割T , 则f （x ）在上的振幅为

设特别地,

时成立.

存在

只要

就有

从而, 当

时, 有

故

所以由可积第二充要条件知f （x ）在[a, b]上可积.

2． 设函数

（1）当n 为正整数, 且（2）

.

, 且

, 所以

又因为

是以为周期的函数, 所以

所以当

时,

有

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的每一项在[a, b]上连续改为在[a, b]上可积, 试证在[a, b]

所以, 对任意. 存在N , 当n ≥N 时, 有

又f n （x ）在[a, b]上可积, 故对上述的

时, 证明:

【答案】（1）因为

.

（2）由（1）知, 当. 时, 有

令

3． 设

可得为无穷小数列,

为有界数列, 证明:

为无穷小数列.

又因为

为无穷

时,

有

因此, 当n>N

【答案】因时,

4． 证明在

【答案】设

为有界数列, 故存在

所以

上,

使得对一切正整数n , 有故

为无穷小数列.

小数列, 所以对任

给存在正整数N ,

当

, 则

所以所以当

在时, 有

上严格单调递增.

. 即

设所以于是当

在时, 有,

因为

上严格单调递增.

, 即

故对 5． 设

为

, 成立

内的有界函数. 证明:

在

内一致连续当且仅当

其中

【答案】因为在内有界, 则存在使得. 对任意利

用拉格朗日中值定理, 得

其中介于

和

之间, 显然有

于是有

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由此可知连续当且仅当

,

6． 证明:

在

内一致连续当且仅当结论得证.

在内一致连续

, 在内一致

【答案】因为

所以

所以

7． 证明反常积分

【答案】因为

所以只需证明记

收敛即可.

则对任意

在

上单调递减, 并且

收敛, 故

收敛.

是收敛的.

由狄利克雷判别法可知

二、解答题

8． 求极限

【答案】由等价无穷小替换及洛必达法则得

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