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一、证明题

1． 证明:若

为任何闭集, f :

且存在正实数

. , 因为f :

, 所以必有

于是对任意的正整数n , P, 有

即

当n>N时, 对任给正整数P , 有

, 又因为D 为闭集, 所以

由于

有

所以f 在D 上任何点x 0处连续, 从而

故

为f 的不动点.

的惟一性若也就是

为, 的另外一个不动点, 则

即

2． 证明不等式.

. 所以f 在D 上存在惟一的不动点.

（2）不动点

, 故由定理可知数列

收敛,

设

, 使得对任何

满足

则在D 中存在, 的惟一不动点即【答案】（1）不动点的存在性. 下面验证

满足柯西条件, 首先, 有

【答案】由于在恒大于0, 令显然在上连续.

证原不等式可转化为证由于

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令则

所以从而

所以

即

在

上单调递增, 所以

即.

3． 设

证明:【答案】因

即可. 设即所以故

4

． 设

且

而

不可能在D 内部取得极值, 是一个严格开区间套

, 即满足

证明:存在惟一的一点

使得

【答案】由题设知, 使得

单调递增, 故

从而

在有界闭区域D

内有二阶连续的偏导数, 有

的最大值、最小值只能在区域的边界上取得. 在界闭区域D 上连续,

故由连续函数的最值性知

在D 上一定可取得

处

最大值和最小值, 下证在D

的内部不能取得极值, 这里只需证明在D 内任何点. 对D 内任何点（x , y ）

, 由于

故

的最大值和最小值只能在D 的边界上取得.

是一个闭区间套. 由区间套定理知, 存在惟一的点, 又因

, 所以

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5． 设悬链方程为A （t ）.

它在

上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为:

s （t ）、

该曲边梯形绕

x 轴一周所得旋转体体积、侧面积和x=t处的截面面积分别记为

证明（:1）

【答案】（1）由弧长公式得

由定积分的几何意义可得

（2）旋转体体积为

侧面积为

所以

（2）

（

3）

（

3）x=t

处的截面面积为

所以

6．

设

证明:若对任何正数有

那么

那么

则 , 设

则

取

因为

【答案】用反证法. 假设

7． 设正项级数

【答案】令

收敛，证明：级数

则

不成立. 这与题设矛盾, 故

仍收敛，其中

对上式两边取极限得

所以级数

收敛到

二、解答题