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一、证明题

1． 证明定理g （x ）满足:

（i ）

（ii ）f （x ）, g （x ）在（iii ）

. 的某邻域

或

内可导. 且）, 则

【答案】作变换

, 则

时.

, 于是

由于

,

在

内满足定理的条件, 所以

故

2． 证明:若函数f 在点x 0处有

【答案】假设存在由

于是此时有

. 取

使得当

, .

时有可知, 存在

, 则当

,

, 且

则函数列

在（a , b ）内闭一致收敛于函数

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, 情形时的洛必达法则. 要证的命题是:若函数f （x ）和

；

（A 可为实数, 也可为

, . , 由

, 则x 0为f 的极大（小）值点.

及极限的保号性知,

, 于是此时有, 使得当

时,

时有,

时, x 0为f 的极小值点.

;

,

故x 0为f 的极大值点. 同理可证, 当

3． 证明:若函数f （x ）在（a , b ）内有连续导数

.

【答案】因为

即函数列取朗日定理得

由

在

上连续, 从而一致连续,

则

, 当满足

即

时有

于是

0有

, , 即

在

有

上一致收敛于

, 当n>N时,

. . 证明:

,

对

, 对

的极限函数为

.

, 当

时有

. 于是当

时, 由拉格

, 存在正整数

4． 设f 在x=0连续, 且对任何

（1）f 在R 上连续； （2）

【答案】（1）由由f 在x=0连续可得

.

可知f （0+0） =2f（0）, 于是f （0） =0. , 并且对一切

故f 在R 上连续. （2）对整数p , q （

）有

所以

于是对任何有理数r 有上连续, 有

试证:（1）【答案】（1）令（2）将结论中换成x

:

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. 对任何无理数, 存在有理数列. 故对任何

,

.

, 使. 由f 在R

5． 设f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导, 且

, 使

; （2）对任意实数必存在

. 对F （x ）在

.

使

上应用根的存在定理即可.

即

亦即

,

或

由此可见, 令

6． 设f 为区间I 上的单调函数. 证明:若

【答案】设f （x ）为I 上的单调递增函数. 得f （x ）在限的单调有界原理知断点.

7． 将函数

【答案】由

逐项积分上式得

因为

及

在[0, 1]上连续.

收敛, 则

在[0, R]上一致收敛, 且

若

和函数

在

上有界, 则

收敛

, 还可以逐项积分, 即

根据定理“若

与

, 对F （x ）在

上应用罗尔定理即可.

为f 的间断点, 则x 0必是f 的第一类间断点.

若不是I 的端点, 则存在x 0的某邻域

内递增且以

使

为下界, 由函数极

内递增且以f （x 0）为上界, f （x ）在

都存在. 故若x 0为f 的间断点, 则x 0必是f 的第一类间断点.

当x 0为I 的左（右）端点时, f （x ）在的右（左）极限存在, 故若为间断点, 则必为第一类间

在x=0点展开为幂级数, 并证明此幂级数在[0, 1]上一致收敛.

可知级数

收敛; 再根据以上定理知幂级数在[0, 1]上一致收敛.

二、解答题

8． 设f 在值或最小值吗?

【答案】（1）设于是, 当x>M时, 有

于是,

对一切

, 则对于

, 存在正数M>a, 使得当x>M时, 有

上连续, 所以f 在闭区间时有. 即f 在

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上连续, 且存在. 证明:f 在上有界. 又问f 在上必有最大

. 因为f 在上也连续. 根

据连续函数的有界性知, 存在正数G , 使得当.

上有界.