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一、证明题

1． 设f （x ）在

（1）（2）设

上连续, 满足. 则有, f （t ） =t;

, 则t=0.

知, 数列

为收敛数列.

上连续, 对

两边取极限, 得

因此f （t ） =t.

（3）此时（1）, （2）的结论仍成立. 因为当推出t=0. 2． 设上单调不减.

【答案】为了叙述方便, 引入一个算子D , 满足:

易知, 若设函数答:选取m

满足由由

的连续性知A 非空, 取

的定义知, 当

时,

成立, 那么

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. 设证明:

为收敛数列；

（3）若条件改为【答案】（1）由界.

根据单调有界定理, （2）设

, 由于f 在

为递减数列. 由知, 数列有

时, 所以由f （t ） =t可

且对任何都有, 求证:f （x ）在（a , b ）

可导, 则

满足

则存在

考虑如下集合

则

使得

先证明一个十分有用的引理:

又由点集A 的定义知上确界是极限点, 因此存在令

则

及且

当n 充分大时, 有作

由下极限的最小值性, 不难推出

由条件知可以验证满足使得对任意

3． 设

【答案】

，c 为常数

，在, 对, 这与

上单调不减. 丨在

在

用反证法, 假若

上非单调不减, 则存在<上应用引理, 知存在,

矛盾, 所以则得.

，证明:

在

上单调不减.

在

上单调不减.

, 即证得

,

同理，

所以

4． 设

在

上单调增加,

不成立, 那么显然则对

存在

使得

证明:

.

由于

与单调性矛盾, 因此假设不成立.

显然M 是非空的, 下证

【答案】设用反证法, 假设不妨设

是连续函数, 则对于任意的

于是

即证得

二、解答题

5． 求

【答案】

.

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而

于是

原积分

6． 求下列各函数的定义域, 画出定义域的图形, 并说明这是何种点集:

（1）（2）（3）（4）（5）

（6）（7）（8）（9）（10）

【答案】（1）函数的定义域为

是无界开点集, 如图1.

.

图1

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