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一、证明题

1． 设函数f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导, 且满足

证明:至少存在一点【答案】令中值定

理知,

, 使得

因此, 由罗尔定理可知, 故有

2． 设f , g 在点x 0连续, 证明:

（1）若（2）若在某【答案】（1）令

, 则存在内有

, 使在其内有, 则, 则

, ,

, 在

内

和极限

, 使得

由于

, 使

.

, 则F （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导. 由题设, 利用积分

由f , g在点x 0连续可知, F （x ）在x 0也连续. 根据连续函数的局部保号性, 对任何正数存在某于是, 当保不等式性可得

, 使得对一切时,

有.

（2）因为f , g 在点x 0连续, 所以

二、解答题

3． 求

（a 为常数）.

时,

（2）当

时,

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【答案】（1）当

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故

4． 求

【答案】

5． 设周期为

⑴（2

）

试问（

1）

（2）

6．

设f （X ）, g （x ）在

求证:

【答案】方法一在

.

上任取一个序列

, 使得

于是由

再根据序列极限与函数极限关系定理得

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所示平面图形绕y 轴旋转所得立体的体积.

.

的可积函数

的傅里叶系数a n , b n 与

的傅里叶系数

有什么关系？

与

满足以下关系式

:

【答案】

上定义, 且’

, 由题设则有

, 即

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方法二对即有

,

由使得当时, 有对此, 由

, 按定义

, 使得当xX 时, 有f （x ）L , 于是, 当xX 时, 有

7． 求一正数a , 使它与其倒数之和最小.

【答案】

令1.

故

,

. 所以a=1是f （a ）的极小值. 因此a=1时, 它与其倒数之和最小.

其绝对误差限为

又测得重量

,

则

,

由

得

, 舍去－1得a =

8． 测得一物体的体积限为

g , 求由公式【答案】

, 其绝对误差

算出的比重d 的相对误差限和绝对误差限.

所以d 的相对误差限为

绝对误差限为.

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