2018年福州大学数学与计算机科学学院611数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若
【答案】由可推出进一步, 由由设
单调递增且有上界, 知
则有的构造, 知
得收敛.
所以
即
则数列
收敛, 并求其极限.
为严格单调递増数列.
2． 设f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内除仅有的一个点外都可导. 求证:, 使得
【答案】设函数f （x
）在点处不可导. 分别在（a , d ）上和在（d , b ）上对f （x ）用微分中值定理,
可得
和
其中
由此可得到
其中
3． 证明:设f 为幂级数在（﹣R , R ）上的和函数, 若f 为奇函数, 则级数仅出现奇次幂的项, 若f 为偶函数, 则仅出现偶次幂的项.
【答案】由
当f （x ）为奇函数时,
又
故此时有
,
和. 将以上两个等式相加, 可得
可得
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当f （x ）为偶函数时,
又 4
． 设
【答案】先用数学归纳法可证:
再用数学归纳法证明: 显然
归纳假设
则
从而②式成立. 由①, ②式知.
单调递增有上界, 注意到
5． 设
【答案】因为
f 为有
内,
又因为
取
证明
不妨设则当
, 存在时,
故
使得当
时. 在
则由函数极限的局部保号性知.
极限存在,
可设
②
①
证明:
收敛, 并求其极限. 故此时有
时的无穷大量, 所以对任意的
6．
设f （x ）在[0, 1]上连续可导,
且f （0）=0, f （1）=1, 求证:
【答案】设v （x ）满足
显然
满足（2）式. 于是
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所以
7． 设f 在区间
上有界, 记
证明
【答案】
对任意的即
故
设为任意正数, 则存在于是有
故
使得
t
于是有
. 即（1
）式成立.
二、解答题
8
．
设y=y（x ）是由方程
所确定的隐函数, 试求
.
【答案】欲将y 从所给的方程中解出来是非常困难的, 甚至是不可能的, 因此, 必须引入参数形式令y=tx, 代入所给的方程可得
故
, 则
,