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一、解答题

1． 计算第一型曲线积分

【答案】方法一 写出曲线的参数方程:

因为

所以

方法二 由对称性可知, 只需考虑沿上半圆周

的积分, 这时

所以

2． 计算曲面积分

S 是闭曲面

【答案】由高斯公式, 可得

其中

是由闭曲面S 所围的空间区域.

, 则

区域力变成:

. 由对称性, 有

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, 方向取外侧.

作变换:

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3． 设

f （x ）在

【答案】由条件得

即 4．

2

上连续

, 且满足条件. 求证:f （x ）为一常数.

.

为R 中的开集，

为上的函数，且

的x 存在关于

存在.

使得

当

时

，有

；根据柯西准则，知

存在

. 即等

（为开集），所以

中的

y 一致连续.

①

（1）对每个（2）试证

:

【答案】首先证明因

根据条件（2）令

取极限，根据条件（1）可得

）

.

式①左端极限存在，记之为A.

其次，（证明

由

利用条件（2）及上一步骤之结论，可取x 与x

0充分接近使得

将x 固定，由条件（1）于是由②式知

5． 设周期为

⑴（2）试问（1）

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②

使得时证毕.

的可积函数

与满足以下关系式:

的傅里叶系数a n , b n 与

的傅里叶系数有什么关系？

【答案】

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（2）

6． 在下列数列中哪些数列是有界数列, 无界数列以及无穷大数列:

（1）（2）（3）（4）列.

（2）因为

（3）因为（4）因为

7．

设

其中f （x ）为可微函数, 求

.

在定义区域内连续, 所以

同理

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所以

所以

是有界数列, 但所以

不存在.

是无界数列, 但不是无穷大数

【答案】（1）因为

是无穷大数列, 也是无界数列.

所以I

是无界数列,

但不是无穷大数列.

【答案】由于函数（x —yz ） f （z ）与