2018年福州大学软件学院611数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 证明域
使得
在区间I 上内闭一致收敛于f 的充分且必要条件是:对任意在
上一致收敛于f.
总存在x 0
的一个邻域而当
在[a, b]上一致收敛于f , 因此
由已知时
,
覆盖[a, b].
有
在I 上内闭一致收敛于f. .
使得
在有
和I 的一个内闭区间[a, b],
使得在
上一致收敛于f. 上一致收敛于f.
存在x 0的一个邻
【答案】必要性
所以
充分性
从而
显然, 当x 0取遍[a, b]上所有点时,
由有限覆盖定理, 存在有限个区间覆盖[a, b].不妨设
取所以
则当n>N时,
在[a, b]上一致收敛. 由[a, b]的任意性, 得
2． 由于帕塞瓦尔等式对于在果证明下列各式:
（1）（2）（3）
上满足收敛定理条件的函数也成立（证略）. 请应用这个结
【答案】（1）知
且f （x ）周期延拓后在即
（2）知
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上满足收敛定理条件, 故由帕塞瓦尔等式, 得
又f （x ）周期延拓后在内满足收敛定理条件, 由帕塞瓦尔等式, 得
故（3）知
且f （x ）周期延拓后在
内满足收敛定理条件, 故
即
3． 若在区间I 上, 对任何正整数n ,
证明:当【答案】因为及任意
在I 上一致收敛时, 级数有
从而由
, 得
所以, 由柯西准则知, 级数
4． 设
射; （2）证明:f 在
【答案】（1）因为
所以
由于（2）对于即
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在I 上也一致收敛.
总存在N>0, 使得当n>N时,
对任意
在I 上一致收敛, 故对任给的
在I 上一致收敛.
时, <
.
, 但在R 上, f 不是一一映
2
, （1）证明:当
上是一一映射, 并求
, 故在R 上f 不是一一映射.
当且仅当
2
且
故一一映射, 由
有
根据定理有
5． 证明:级数
【答案】考察
显然m 适当大时, 有
从而 6．
设
在
上可微,
且对于任何
有
求证:对任何正整数n ,
有
. .
,
, 使
, 由于级数的通项趋于0, 故当
发散于
.
, 当且仅当
, 且
, 因此f 在D 上是
其中M 是一个与x 无关的常数.
【答案】由定积分的性质及积分中值定理有
其中
又因为
在
上可微, 所以由微分中值定理可知, 存在
使得
因此
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