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一、证明题

1． 定义双曲函数如下:

双曲正弦函数

双曲余切函数

证明:

【答案】（1）（2）（3）

（4）

2． 设当

因

为

3． 证明:若

（1）

存在且等于A ;

则

存在

内时

从而

4． 设

即, 证明

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双曲余弦函数

双曲正切函数

时, 时

,

, 而

, 所

以

. 证明:f 与g 两者中至多有一个在x=0连续.

, 从

而

, 这与题

设

【答案】反证法, 假设f （x ）、g （x ）都在x=0连续, 则

矛盾. 故f 与g 两者中至多有一个在x=0连续.

（2） y 在b 的某邻域内, 存在有【答案】由条件（1）知:对任绐

又由条件（2）知:当y 在b 的某邻域在①式中, 令

得

当

时, 有

①

存在. 令

当

时,

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【答案】方法一

令

变换的雅可比行列式为

所以

方法二 因

对内层积分作定积分变换

5． 用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理.

【答案】一致连续性定理:

若函数f 在闭区间上连续, 则

f 在[a, b]上一致连续. 因为f 在[a, b]上

连续,

所以任给

取

任意

, 存在

.

则H

是

对任意

,

有

, 不妨设

, 即

.

的无限开覆盖.

由有限覆盖定理,

从中可以选出有限个

, 则

开区间来覆盖

[a, b].不妨设选出的这有限个开区间为

取当

时, 由于

. 对任意

因此

由一致连续定义, f 在[a, b]上一致连续. 6． 设

, 证明:

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【答案】原不等式等价于

取的凸函数. 若记

即

亦即

7． 设a n >0, 证明：当下极限

级数

发散.

， ，即

收敛.

，当n 足够大时，

，由比较判别法知，级数

发散.

，

，

时，级数

收敛；

当上极限

时，

, 则由

, 由凸函数的性质

f x ）可知, （是

上

【答案】 （1）由于当n 充分大时，由比较判别法知级数（2）由于即

二、解答题

8． 求

【答案】

9． 求下列函数f 的黑赛矩阵, 并判断该函数的极值点:

（1）

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