2017年山东科技大学信息科学与工程学院833高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到基
【答案】（A ）
2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】
3． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
则线性方程组（ ）•
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
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是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与
的两个线性无关的解.
考虑到
4． 设向量组
是的一个特解，所以选C.
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为所以向量组
5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
线性无关.
线性无关.
二、分析计算题
6． 设
【答案】由又
再由
知，
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矩阵B 满足
可得
其中E 是3阶单位阵，为A 的伴随阵，求
7． 设A 为n 阶方阵，证明：
【答案】因为
所以
故
8． 设n 是正整数，证明：
【答案】
当
在有理数域上可约的充要条件是存在整数m ，使
所以，
设
在有理数域上可约，
在有理数域Q 上可约，由于
不存在有理根，所以存在
使
的充要条件是
时，显然有
比较系数得
由式⑴得
代人式（3）得
（i ）如果a=0, 贝I 油式（2）得（ii ）如由于
代人式（4）得
得出矛盾.
由式（6）知]
从而
个都线性无关，证明： 或者全为0，或者全不为0;
其中
则
【答案】（1）若
则证毕. 否则总有一个k ≠0, 不失一般设
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则有b=d，结合式（2）、式（4）得
9． 已知m 个向量
（1）如果等式
线性相关，但其中任意
则这些
（2）如果存在两个等式