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一、证明题

1． 利用施瓦兹不等式证明：

(1) 若在(2) 若在

上可积，则

上可积，且

则

(3) 若

都在

上可积，则有闵可夫斯基

不等式：

【答案】(1) 根据施瓦兹不等式，有

(2) 由有

(3) 由施瓦兹不等式，得

可积，且

知

可积，从而

可积，于是根据施瓦兹不等式，

故

2． 设

(2) (4)

为有界数，记

为递增有界数列，且对任何正整数的极限，则

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证明：

(1) 对任何正整数，

为递减有界数列，

和

收敛的充要条件是(3) 设和分别是

【答案】(1) 由(2) 由于

和的定义知|

于是

因而

由于

的界，

即对一切正整数

故

为递减有界数列

，

由

知

和

又因

即

的极限都存在，设

因而.

设正数M

为数列设正整数h>n, h>m.

则由正整数n , m

总有限得

收敛. 必要性，设于是，当n>N时

(3) 由单调有界原理知

即

可知，

对一切

故对任何的两边取极

为递増有界数列. 对任何正整数n , m ，

由(1) 知

(4) 充分性，由(1) 和确界的定义知

则对任意的

由迫敛性定理知，

数列即

因此，

存在N ，使得当n>N时，

在上面两个不等式的两边分别取极限得由的任意性知

3． 设f 在

使得

上三阶可导，证明存在

【答案】令

则又因为

所以

在区

间

由

可得

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在上满足柯西中值定理的条件，于是存在

使得

上对函

数应用柯西中值定理可得，存

在使

得

因此

4． 设为连续函数，证明：

【答案】(1) 从所要证明等式的被积函数来看，

应作代换

则

(2) 令

则

从而

由此得

5． 设

在

上二阶连续可导，证明：

【答案】记

取

由微分中值定理，有

即

于是

有

对上式两边，分别关于

和

S

和

上积分，可得

即

进而有

这就是所谓的内插不等式.

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于是有