2017年山东理工大学理学院608数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1. 证明
:
【答案】令
则
于是
在
时,
内严格递增
即
故f (x )
在
内严格递增,
当
2. 设函数f 在(a, b) 内可导,且单调. 证明在(a,b ) 上连续.
【答案】设内递增且以定理知,
因为f (x )
在
可导,所以
.
于是
由
的任意性知
在(a,b ) 内递増. 设
则
在某个
内递增且以
为上界,
在
为下界. 根据单调有界定理知,极限
都存在. 再由导数极限
在(a, b) 内连续
3. 证明:定圆内接正行边形面积将随n 的增加而増加。
【答案】设圆的半径为R ,则该圆的内接正n 边形面积
令
则
于是当
时,
故
在
上严格递增. 因此,数列
严格递增. 即圆内接正
n 边形面积将随n 的増加而增加。
4. 设函数在上非负连续,
在上连续单调增加,则
【答案】用重积分来证明. 考察差
交换积分变量x 与y 的位置,仍然有
于是有
从而原不等式成立.
二、解答题
5. 取y 为因变量,解方程
【答案】由上题启发,z=z(x ,y ) 中把x ,y 看成自变量,对x 求偏导数,得
解出
再对x 求偏导,得
将
代入上式,有
利用条件得
出
6. 设y=y(x )是可微函数,求
其中
将x=0代入,可解得y (0)=0, 再将x=0代入,得
和y 取为因变量以及隐含条
件所
以由此解
出
【答案】将已知等式两边对x 求导得
7. 利用函数
求证明:(1)某系各班级推选学生代表,每5人推选1名代表,余额满3人
;可增选1名. 写出可推选代表y 与班级学生数x 之间的函数关系(假设每班学生数为30〜50人)(2)正数x 经四舍五入后得整数y , 写出y 与x 之间的函数关系.
【答案】 (1)(2)
8. 求两椭圆
所围公共部分的面积。
解得两曲线在第一象限内的交点坐标为I
共部分的面积为
于是,所围公
【答案】如图所示,这两个椭圆是全等的,故所求面积是阴影部分面积的8倍. 由方程组
图
9. 求曲面
的切平面,使它平行于平面
的切面和平面.
处的切平面与所给平面平行,在以处切平
平行,又在该点的切面为
【答案】设曲面上过点故
所以
代入曲面方程得
所以面为
可见在点
在
和点
处切平面为
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