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2017年山东理工大学理学院608数学分析考研仿真模拟题

  摘要

一、证明题

1. 证明

【答案】令

于是

时,

内严格递增

故f (x )

内严格递增,

2. 设函数f 在(a, b) 内可导,且单调. 证明在(a,b ) 上连续.

【答案】设内递增且以定理知,

因为f (x )

可导,所以

.

于是

的任意性知

在(a,b ) 内递増. 设

在某个

内递增且以

为上界,

为下界. 根据单调有界定理知,极限

都存在. 再由导数极限

在(a, b) 内连续

3. 证明:定圆内接正行边形面积将随n 的增加而増加。

【答案】设圆的半径为R ,则该圆的内接正n 边形面积

于是当

时,

上严格递增. 因此,数列

严格递增. 即圆内接正

n 边形面积将随n 的増加而增加。

4. 设函数在上非负连续,

在上连续单调增加,则

【答案】用重积分来证明. 考察差

交换积分变量x 与y 的位置,仍然有

于是有

从而原不等式成立.

二、解答题

5. 取y 为因变量,解方程

【答案】由上题启发,z=z(x ,y ) 中把x ,y 看成自变量,对x 求偏导数,得

解出

再对x 求偏导,得

代入上式,有

利用条件得

6. 设y=y(x )是可微函数,求

其中

将x=0代入,可解得y (0)=0, 再将x=0代入,得

和y 取为因变量以及隐含条

件所

以由此解

【答案】将已知等式两边对x 求导得

7. 利用函数

求证明:(1)某系各班级推选学生代表,每5人推选1名代表,余额满3人

;可增选1名. 写出可推选代表y 与班级学生数x 之间的函数关系(假设每班学生数为30〜50人)(2)正数x 经四舍五入后得整数y , 写出y 与x 之间的函数关系.

【答案】 (1)(2)

8. 求两椭圆

所围公共部分的面积。

解得两曲线在第一象限内的交点坐标为I

共部分的面积为

于是,所围公

【答案】如图所示,这两个椭圆是全等的,故所求面积是阴影部分面积的8倍. 由方程组

9. 求曲面

的切平面,使它平行于平面

的切面和平面.

处的切平面与所给平面平行,在以处切平

平行,又在该点的切面为

【答案】设曲面上过点故

所以

代入曲面方程得

所以面为

可见在点

和点

处切平面为