2017年山东理工大学理学院608数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为单调数列. 证明：
若则
0, 按聚点的定义，
于是
聚点，则必是惟一的。
假设在：
使
无界，则
的确界。
若使
因
为这表明
使
故
则
使 且
即即
使这表明
使
又
因
为
. 所
以
且
则即
所
以
或
使
若
这表明
即
有聚点，必惟一，恰为
即任给
存在正整数
当
时，
于是小于M 的只有由聚点定义，必存
有限项，因此不可能存在聚点，这与已知题设矛盾，
故
按上确界定义知综上，若
2． 设
(2
)
【答案】(1) 一方面，
则
另一方
面
或
(2
)
即
(3) —方面，由(2) 有另一方面
，因为是一一映射，所以
综合两方面，有
则
使
则
从而
使
综合两方面，
有
则
且
所以
有界. 对任给的
存在聚点，则必是惟一的，且为
中含有无穷多个
的确界。
令
时
，存在
则当
【答案】
设
是一个单调递増数列.
假设
中只能含有
是它的两个不相等的聚点，
不妨设
中的点，设
中有穷多个点，这与是聚点矛盾. 因此，若
是X 的任意子集，证明：(1) (3) 若f 是一一映射，则
则
或总
3． 证明下列函数在指定区间上的单调性：
⑴⑵(3
)
在在在
上严格递増；
上严格递增； 上严格递减.
那么，
即
第 2 页，共 37 页
【答案】(1) 设
故(2)
设由
在上严格递增.
那么，
可得
于是
递增.
(3
)
则
由此可得
即
故
在上严格
所以
那么，
故
4． 通过对
【答案】在
则
即.
在
上严格递减.
施用中值定理，证明对某
有
中，令
二、解答题
5． 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点使.
【答案】（1）f （X ）在
上连续，又因为
所以
在x=0右连续. 故f （x ）在
内连续
.
故f （x ）在
内可导，且
根据罗尔中值定理，存在一点
使
第 3 页，共 37 页
（2）所以
时
，
函数f （x
）在区间内不存在使.
6． 求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面：
【答案】(1) 因
在x=0不可导.
则
在
时
上不满足罗尔中值定理的条件.
当
所以
故
所以切线方程为
即
法平面方程为
即
(2
)
所以
故切平线方程为
法平面为
7． 设
应用链式法则计算
即
则
【答案】把看作以下三个变换的复合
第 4 页，共 37 页