2017年山东理工大学理学院608数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1. 证明:(1) 两个奇函数之和为奇函数,其积为偶函数;
(2) 两个偶函数之和与积都为偶函数; (3) 奇函数与偶函数之积为奇函数.
【答案】(1) 设f (x ) 与g (x ) 是D 上的两个奇函数,令
则
所以f (x ) +g(x ) 是D 上的奇函数,f (x ) g (x ) 是D 上的偶函数. (2) 设f (x ) 与g (x ) 是D 上的两个偶函数,
则
所以f (X ) +g(X ) 和f (X ) g (X ) 都为偶函数.
(3) 设f (x ) 为D 上的奇函数,g (x ) 为D 上的偶函数,
所以f (x ) g (x ) 为奇函数.
2. 设
在
上有一阶连续导数,证明存在
使
【答案】令
则
在
上有二阶连续导数. 对
在上式中取
3. 证明关于函数
(1) 当x>0时,(2) 当x<0时,【答案】即
(1) 当x>0时,式
两边同乘以X ,得到
则
应用泰勒公式,有
即得
的如下不等式:
的最大整数,因此
是不超过
(2) 当x<0时,式两边同乘以X ,得到
证明在R 上每一点都右连续.
极限使得当
时,把y 限制在
故g (x )
在
都存在. 于
时
内,
右连续.
4. 设f 为R 上的单调函数,定义是,g 的定义域是R ,
由于
即
就有
即当
由的任意性知,g 在R 上每一点都右连续.
【答案】设f 为R 上的单调增函数. 根据单调有界原理,对一切
对于任给的
于是,当时
存在
二、解答题
5. 验证下列积分与路线无关,并求它们的值:
【答案】
所以积分与路径无关,取路径y=x,得
(2)
由路径
如图,则
所以积分与路径无关,取
图
(3) 因
故积分与路径无关,且
(4) 当
|时,
是全微分,故积分与路径无关,且
(5) 因分别是关,从而
为连续函数,则
的原函数,
于是
可见积分与路径无
6. 设f 为则有
内的递增函数. 证明,若存在数列
内有界.
由
得
的递增性知,此时
有使得由归结原则得
于是,当
且使得
【答案】先证f (x
)在
从而此时有.
设
时
,
则对任给的
故
存在则
由
由
f x )于是(在
知,
对亍
存在
使得当
时使得当
时
由极限保号性知,
存在
.
取
时,
于是B=A, 即
则
当
f x )内有上界. 由确界原理知,(有上确界. 令
7. 设用某仪器进行测量时,读得n 次实验数据为值,才能使它与这n 个数之差的平方和为最小。
【答案】x 与这n 个数之差的平方和为
又因
故
问以怎样的数值x 表达所要测量的真于是
由
得
为最小值点,因此x 为的算术平均值时,它与
这n 个数之差的平方和为最小。
8.
求
度,并求梯度为零之点。
【答案】因为在点在点因
在点
所以:
在点
处的梯
令
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