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2017年山东理工大学理学院608数学分析考研导师圈点必考题汇编

  摘要

一、证明题

1. 证明:(1) 两个奇函数之和为奇函数,其积为偶函数;

(2) 两个偶函数之和与积都为偶函数; (3) 奇函数与偶函数之积为奇函数.

【答案】(1) 设f (x ) 与g (x ) 是D 上的两个奇函数,令

所以f (x ) +g(x ) 是D 上的奇函数,f (x ) g (x ) 是D 上的偶函数. (2) 设f (x ) 与g (x ) 是D 上的两个偶函数,

所以f (X ) +g(X ) 和f (X ) g (X ) 都为偶函数.

(3) 设f (x ) 为D 上的奇函数,g (x ) 为D 上的偶函数,

所以f (x ) g (x ) 为奇函数.

2. 设

上有一阶连续导数,证明存在

使

【答案】令

上有二阶连续导数. 对

在上式中取

3. 证明关于函数

(1) 当x>0时,(2) 当x<0时,【答案】即

(1) 当x>0时,式

两边同乘以X ,得到

应用泰勒公式,有

即得

的如下不等式:

的最大整数,因此

是不超过

(2) 当x<0时,式两边同乘以X ,得到

证明在R 上每一点都右连续.

极限使得当

时,把y 限制在

故g (x )

都存在. 于

内,

右连续.

4. 设f 为R 上的单调函数,定义是,g 的定义域是R ,

由于

就有

即当

由的任意性知,g 在R 上每一点都右连续.

【答案】设f 为R 上的单调增函数. 根据单调有界原理,对一切

对于任给的

于是,当时

存在

二、解答题

5. 验证下列积分与路线无关,并求它们的值:

【答案】

所以积分与路径无关,取路径y=x,得

(2)

由路径

如图,则

所以积分与路径无关,取

(3) 因

故积分与路径无关,且

(4) 当

|时,

是全微分,故积分与路径无关,且

(5) 因分别是关,从而

为连续函数,则

的原函数,

于是

可见积分与路径无

6. 设f 为则有

内的递增函数. 证明,若存在数列

内有界.

的递增性知,此时

有使得由归结原则得

于是,当

且使得

【答案】先证f (x

)在

从而此时有.

则对任给的

存在则

f x )于是(在

知,

对亍

存在

使得当

时使得当

由极限保号性知,

存在

.

时,

于是B=A, 即

f x )内有上界. 由确界原理知,(有上确界. 令

7. 设用某仪器进行测量时,读得n 次实验数据为值,才能使它与这n 个数之差的平方和为最小。

【答案】x 与这n 个数之差的平方和为

又因

问以怎样的数值x 表达所要测量的真于是

为最小值点,因此x 为的算术平均值时,它与

这n 个数之差的平方和为最小。

8.

度,并求梯度为零之点。

【答案】因为在点在点因

在点

所以:

在点

处的梯