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一、证明题

1． 设f （x ）在[0, 1]上连续可导, 且f （0）=0, f （1）=1, 求证:

【答案】设v （x ）满足

显然

满足（2）式. 于是

所以

2． f （x

）在

. 上有连续二阶导数，且

，令

证明：

收敛.

. 即（1）式成立.

【答案】由题设，对n=1, 2，…，有

由

在

上有连续二阶导数，知. 于是，

sinnx :在

上绝对可积，即存在M>0,

使得

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利用比较判别法，由子

3． 若在区间I 上

, 对任何正整数n ,

收敛，则级数收敛.

证明:当【答案】因为及任意

在I 上一致收敛时, 级数有

从而由

, 得

所以, 由柯西准则知, 级数

在I 上一致收敛.

则在区间I 上f （x ）与g （x ）只

可知h （x ）为I 上的常量函

（c 为某一常数）.

4． 证明:若函数f 和g 均在区间I 上可导, 且相差某一常数, 即

【答案】令数,

即

. 亦即

5． 证明:若函数f （x , y ）在有界闭区域D 上可积, 则f （x , y

）在D 上有界.

【答案】假设f 在D 上可积, 但在D 上无界,

那么,

对D 的任一分割个小区域上

无界. 当

时, 任取

, 令

由于f 在上无界

, 从而存在从而

另一方面, 由f 在D 上可积知:存在当

时, T 的任一积分和

, 对任一D 的分割都满足

这与①式矛盾, 因此f 在D 上有界.

在I

上也一致收敛.

总存在N>0

, 使得当n>N时, 对任意

在I 上一致收敛,

故对任给的

（c 为某一常数）. , 则在I 上有

,, 必在某

使得

,

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6． 证明:若f 在[0, 1]上连续, f （0）=f（1）, 则对任何自然数n

,

【答案】令

显然F （x ）在上述小区间上连续, 且

若分点若不然, 则由

7． 设f 为定义在D 上的有界函数, 证明:

【答案】设使得

8． 已知

【答案】

即试证

则对一切

有所以

即

中有一个使F （x ）=0, 则命题得证.

将[0, 1]区间n 等分:

使得

.

, 可知, 上述被加项中

必有两项异号, 在它们所构成的区间上应用连续函数根的存在定理即知结论成立.

对任意

存在