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一、证明题

1． 设

（1）

（2）计算重积分【答案】（1）令S 为由对称性显然可得

而

所以

（2）利用（1）的结果得

2． 证明曲线

【答案】设

上任一点的法线到原点距离等于a.

所对应的点为

. , 则

法线斜率为

化简得

, 所以过点

的法线方程为

. 原点（0, 0）到法线的距离

, 证明:

3． 证明:对任何

（1）（2）

有

可知,

并说明等号何时成立. 【答案】（1）由三角不等式当且仅当（2）

当且仅当

4． 设f 为

时, 等号成立.

上的奇（偶）函数. 证明:若f 在

则

上增, 则f 在

上增（减）. , 并

且

于

是

时, 等号成立.

【答案】

设

如果f 为奇函数, 则

即f 在即f 在

5． 证明:

（1）方程. （2）方程【答案】（1）令的开口向上, 于是不同的实根

得

（2）令

, 并且

根据罗尔中值定理, 存在为

是奇次方程

（ii ）设n 为正奇数. 如果方程在

,

使得

并且

当n 为偶数时至多有两个实根.

不妨设

,

则, 则

上为增函数. 如果f 为偶函数, 则

上为减函数.

（这里c 为常数）在区间内不可能有两个不同的实根；

（n 为正整数, p 、q 为实数）当n 为偶数时至多有两个实根；

, 则

由方程

得

, 抛物线

, 使

时,

,

使得

当n 为奇数时至多有三个实根.

在区间（－1, 1）内恒为负. 用反证法证明原命题. 如果在区间[0, 1]内有两个

由罗尔中值定理知, 存在. 当

时, 显然成立; 当

在区间（0, 1）内不可能有两个不同的实根. 有三个以上的实根,

则存在实数

, 使得

, 但这是不可能的. 所以方程（i ）设n 为正偶数.

如果方程

, 但这是不可能的. 因

.

故方程

, 它在实数集R

上有且仅有一个实根

有四个以上不同的实根, 则根据罗尔中值定理, 存

但这是不可能的.

因为

是偶次方程

, 它在实数集R 上最多只有两个实根. 故方程

根

当n 为奇数时至多有三个实

二、解答题

6． 试问下列等式是否成立:

（1）（2）

【答案】（1

）对于任意一个函数

由于

（2

）因为

的, 故等式不成立. 7． 设

【答案】由

是定义在是定义在

上的连续的偶函数, 则上的连续的偶函数知.

从而

所以原命题成立.

8． 求螺旋线

【答案】

则

的反函数

当x

属于

的定义域时,

总有

的定义域为R , 故等式成立. 的值域是

所以等号左边的值是有界的, 而等号右边的值是无界

从而令

有

对z 轴的转动惯量, 设曲线密度为L