2018年山东理工大学理学院608数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 、g 、h 是定义在
证明: （1）若
（2）又若
【答案】（1
）因为
当
时, 便有
由题设于是, 当（2）由又因为 2． 设
在
上连续,
绝对收敛, 证明:
【答案】因为因为
绝对收敛, 当n 足够大的时候
由于的任意性, 所以命题成立. 3． 设
,
, 证明:交错级数
, 则
, 由f （0）=0和
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上的三个连续函数, 且成立不等式都收敛, 则
, 则
与
也收敛;
收敛, 所以由定理可知,
对任给
存在
.
与
，使得
可得
,
时
,
得
,
, 所以, 由迫敛性定理知,
, 再由定理知,
, 收敛.
,
连续, 所以当n 足够大的时候
收敛. （
适当小）, 有
可知, 存在
【答案】先证明一个不等式. 设事实上, 令
,
当时, 有f （x ） >f （0）, 即式（1）成立.
单调递减. 设所给的极限为
, 取
满足
,
由已知的极限, 当n 适当大时, 则当n 适当大时, 有
这里应用了不等式（1）, 由此可知, 存在A>0, 使当n 适当大时, 有
由莱布尼茨判别法,
收敛.
4． 设函数f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导, 且满足
证明:至少存在一点【答案】令中值定
理知,
, 使得
因此, 由罗尔定理可知, 故有
, 使得
由于
, 使
.
, 则F （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导. 由题设, 利用积分
二、解答题
5． 设n 是平面区域D 的正向边界线C 的外法线, 则
【答案】由Green 公式有
6． 分别用梯形法和抛物线法近似计算
【答案】（1）梯形法（取n=10）
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（将积分区间十等分）.
（2）抛物线法（取n=10）
7． 设曲线
【答案】将
由方程组
代入到方程组
:确定, 求曲线在
得
处的切线方程与法线方程.
解得
进一步, 将方程组
中各方程两边分别求微分, 得
将
代入该方程组, 得
解得
.
所以
所以切线方程为:
, 法线方程为:
8． 讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛, 则求其值:
（1）（4）（7）
【答案】（1）
（2）
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; （2） （5） （8）
（3）
; （6）
; ;