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一、证明题

1． 设

【答案】令在又有

内可导,

, 故由柯西中值定理, 存在

, 证明存在

. 使得, 则

在, 于是当, 使得

2． 设数列

证明:（1）若（2）若

满足:

有界, 则

也有界;

有界知, 存在M0, 使得

, 由递推关系式可知,

收敛, 则

也收敛.

. 上连续,

时, , 即

与

不同时为零.

【答案】（1）由己知条件

由此可知, （2）设

有界. ,

则

当nN 1时, 有

即

. 于是有

对上述

故 3

．

设

在

上连续,

绝对收敛, 证明:

【答案】因为因为

绝对收敛, 当n

足够大的时候

由于的任意性, 所以命题成立.

4． 已知

都是可微的,

【答案】因为

故原式成立.

, 2.

证明:

. 当nN

时, 可使

, 从而, 当nN 时, 有

连续

, 所以当

n

足够大的时候

二、解答题

5． 将函数

【答案】

在

在

上展开成傅立叶级数，并求级数

上是偶函数，有

的和.

于是，取

，得

，解得

.

6． 判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性:

（1）（3）（5）

【答案】（1

）任意在

设

上一致收敛. （2）令

的部分和为

S n 则任意,

又

故

对任意

是单调递减的. 均有

由狄利克雷判别法知

所以

当r>l时, 因级数当r=l时, （4）因

时.

收敛, 所以

在

在

收敛, 所以

（2）

（4）

（6

）因为

而级数

收敛, 所以

又对任意故

敛.

（3）因为

上一致收

上一致收敛.

上不一致收敛. 在[0, 1]上一致收敛.

•所以级数而