当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明:

在

上一致连续.

, 因为

上一致连续.

, 有

, 可取, 且. 设

.

就有

上一致连续. 综上, f （x ）在

, 设

, 则有

由故

在

得

取

则当

, 并且

上一致连续.

为D 内任一点, 证

2． 设平面区域D 在x 轴和y 轴的投影长度分别为L x 和L y , D 的面积为明

（1）（2）因此（1）

（2）考虑

令

则所以

第 2 页，共 24 页

【答案】（1）证法一

:致连续定理知, f （x ）在

对只要

由定义知, f （x ）在（2）证法二:任给

. 任

在闭区间上连续, 据一

所以, 对任给的

上一致连续.

时有

,

【答案】设D 在x 轴和y 轴上的投影区间分别为[a, b]和[c, d].

并且

, 记

专注考研专业课

13年，提供海量考研优质文档！

由于

, 因此

. 所以

,

同理可证

3． 用

方法证明:

, 得到

【答案】则

因此,

存在

当

时, 便有

即

4． 叙述（1）有限覆盖定理和（2）魏尔斯特拉斯（Weierstrass ）定理（致密性定理）, 并用（1）证明（2）.

【答案】⑴有限覆盖定理:若个开区间来覆盖[a, b].

（2） Weierstrass 定理（致密性定理）:有界数列必存在收敛子列. 反证法.

设数列

则对任意的由此可知, 存在显然

为

在

不是

若

中无收敛子列,

中的有限项.

中存在有限个开区间

根据

的构造性质可知,

中也只含有

中的有限项, 从而[a, b]中也只含有

中的有限

中任意一子列的极限.

中至多只含有

为闭区间

的一个（无限）开覆盖, 则在

中必存在有限

于是得一满足上述条件的开区间族

的一个开覆盖, 由有限覆盖定理,

项, 这与中,

5． 设f （x ）在

矛盾, 所以结论得证. 上二次可微, 且

第 3 页，共 24 页

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

证明:【答案】

及任意的实数h , 由泰勒公式, 有

在x 与x+h之

间

,

在x 与x-h 之间

将上两式相减得

所以

固定h , 对上式关于x 取上确界, 可得

上式是关于h 的二次三项式, 由其判别式

6． 证明公式:

,

这里续函数.

【答案】设S 为球面

, 则有

考虑新坐标系O-uvw , 它与原坐标系O-xyz 共原点, 且O-vw 平面为O-xyz 坐标系的平面, mx+ny+pz=0, Ou 轴过原点且垂直于该平面, 于是有

在新坐标系O-uvw 中

,

.

,

则dS=dudw, 从而

.

.

,

, f （t ）在

时为连

可得

这里的S 仍记为中心在原点的单位球面, 将S 表示为:

二、解答题

7． 求f （X ）使曲线积分

【答案】设

因为积分与路径无关, 所以

即

于是得

第 4 页，共 24 页

与路径无关, 这里

不通过y 轴.