2018年西安科技大学理学院612数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若
为任何闭集, f :
且存在正实数
. , 因为f :
, 所以必有
于是对任意的正整数n , P, 有
即
当n>N时, 对任给正整数P , 有
, 又因为D 为闭集, 所以
由于
有
所以f 在D 上任何点x 0处连续, 从而
故
为f 的不动点.
的惟一性若也就是
为, 的另外一个不动点, 则
即
2． 证明:函数
在点（0, 0）连续且偏导数存在, 但偏导数在点（0, 0）不连续, 而f 在点（0, 0）可微. 【答案】当
时
当
时
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, 使得对任何
满足
则在D 中存在, 的惟一不动点即【答案】（1）不动点的存在性. 下面验证
满足柯西条件, 首先, 有
, 故由定理可知数列收敛,
设
（2）不动点
. 所以f 在D 上存在惟一的不动点.
因此f 在点（0, 0）连续.
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但由于因此当
时,
的极限不存在, 从而
在点（0, 0）不连续, 然而
不存在（可考察y=x情况）,
在点（0, 0）不连续. 同理可证
所以, 在点（0, 0）可微且 3． 设在证明和一切
在
【答案】因为
, 都有
内成立不等式
.
若
一致收敛, 所以任给
为
, 所以
, 存在
在
上一致收敛,
, 对任何
上一致收敛且绝对收敛. 关于
即关于
一致收敛且绝对收敛.
证明:
则
于是
,
即
故故
是是
的一个下界. 又的下确界,
即
4
． 设
S 为非空数集
,
定义
【答案】设有对于任意正数
存在
则任意
使得
二、解答题
5． 讨论下列函数列在所定义区间上的一致收敛性及极限函数的连续性、可微性和可积性:
（1）（2）
【答案】 （1）
因所以由
（2）（1）
时,
, 故
的极限函数f （x ） =0可知f （x ）在[﹣1, 1]上连续, 可微且可积.
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页
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故设从而
（ii
）当故所以
在
. 则f （x ）在
上不连续, 又
上可积.
在
上连续,
上不可微,
上不一致收敛. 由f （x ）不连续可得, f （X ）在时,
显然f （x ）在任意有限区间
由
上可积.
6．
为R 2中的开集
，
（1）对每个（2）
试证:
【答案】首先证明因
的x 存在关于
存在.
使得
根据条件（2）
令
当
时，有
取极限，根据条件（1）可得
）
.
将x 固定，由条件（1）
于是由②式知
7． 若f （x , y ）为有界闭区域D 上的非负连续函数, 且在D 上不恒为零, 则
【答案】由题设存在使得对一切又
且连续, 所以
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f x ）可知（在上连续、可微, 在任意有限区间
为上的函数，且
中的y 一致连续.
①
（为开集），所以
；根据柯西准则，知存在. 即等
式①左端极限存在，记之为A.
其次，（证明
由
利用条件（2）及上一步骤之结论，可取x 与x 0充分接近使得
使得
时证毕.
,
②
, . , 有
令
.
, 由连续函数的局部保号性知:
故