当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 设n 阶行列式

把D 上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转，依次得

，为此通过交换行将

变换成D , 从而找出

与D 的关系.

的最后

证明

【答案】（1）先计算

一行是D 的第1行，把它依次与前面的行交换，直至换到第1行，共进行n-1次交换；这时最后一行是D 的第2行，把它依次与前面的行交换，直至换到第2行，共进行n-2次交换；... ，直至最后一行是D 的第n-1行，再通过一次交换将它换到第n-1行，这样就把

次交换，故

（2）计算下翻转得

则

注意到

的第1，2, ... ，n 行恰好依次是D 的第n ，n-1, ... ，1列，故若把

于是由（1）

（3）计算

，注意到若把

逆时针旋转90°得

则

的第1，2, …，n 列恰好是D 的第

2． 写出下列二次型的矩阵：

（1）

n , n-1, …1列，于是再把

左右翻转就得到D. 由（1）之注及（2）, 有

上

的第1，2, ... ，n 行依次是D 的第1，2, ... ，n 列，即

变换成D ，

共进行

【答案】⑴记故f 的矩阵为

则

（2）与（1）相仿，

故f 的矩阵为

3． 设A 为n 阶矩阵，

证明

与A 的特征值相同.

的根，同样

的特征值是特征多项式

的根，

【答案】A 的特征值是特征多项式

从而A 与

的特征值也相同.

但根据行列式性质1，这两个特征多项式是相等的：

4． 设A , B 都是正交阵，证明AB 也是正交阵.

【答案】方法一、由定义，知AB 为正交阵.

方法二、因A , B 为正交阵，故A ，B 均可逆，且

，从而AB 是正交阵.

5． 设矩阵

【答案】先求x ，y :

因得y=l+x.

因由

再求正交阵P. 对应

解方程（A-5E ）x=0，由

得基础解系

把它们正交化、单位化，得

是A 的特征值，有

与

相似，求x , y ; 并求一个正交阵P ，使

相似，故A 的特征值是5，-4，y , . 由特征值性质：

于是AB 可逆，且有

5+（-4）+y=A的特征值之和=A的对角元之和=2+x.

得x=4.再代入y=l+x，得y=5.于是A 的特征值为

对应于

解方程（A+4E）x=0, 由

得单位特征向量

则P 是正交阵，且有

6． （1）设

（2）设

求

求

【答案】因A 是对称阵，故正交相似于对角阵 ⑴由

求得A 的特征值为对应

解方程（A-E ）x=0，由

得单位特征向量

对应

解方程（A-5E ）x=0，由

得单位特征向量