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一、计算题

1． 设A , B 都是n 阶矩阵，且A 可逆，证明AB 与BA 相似.

【答案】因A 可逆，故

2． 设A , B 都是

由定义，AB 与BA 相似.

矩阵，证明A 〜B 的充要条件是R （A ）=R（B ）.

【答案】必要性即课本结论，故只需证明充分性. 设R （A ）=R（B ）=r，那么矩阵A ，B 有相同的标准形

3． 设矩阵

可相似对角化，求x

于是A 〜F ，B 〜F ，从而由等价关系的对称性和传递性，知A 〜B.

【答案】先求A 的特征值

所以

（二重根），

（单重根）•

于是A 可相似对角化

A 有3个线性无关的特征向量

A 对应于二重特征值1有2个线性无关的特征向量

方程（A —E ）x=0的系数矩阵的秩R （A-E ）=1 另一方面，

于是

4． 设A , B 都是n 阶矩阵，且A 可逆，证明AB 与BA 相似.

【答案】因A 可逆，故

5． 设

线性无关，

由定义，AB 与BA 相似.

线性相关, 求向量B 用

线性表示的表示式.

使

【答案】方法一、因

因线性无关，故

线性相关，故存在不全为零的常数

，不然，由上式得

，这与不全为零矛盾. 于是得

方法二、因关. 又因

线性无关，故

线性相关，故

，于是存在使

线性相关，即

线性相

6． 设

,

,

证明三直线

相交于一点的充要条件为向量组a ，b 线性无关，且向量组a ，b ，c 线性相关. 【答案】三直线有惟一解

7． 设3阶矩阵A 的特征值为

相交于一点

非齐次方程

向量组a ，b 线性无关，且向量组a ，b ，c 线性相关.

对应的特征向量依次为

求A.

【答案】因A 的特征值互异，故知向量组P 为可逆阵，且有

用初等行变换求得

线性无关，于是若记矩阵

则

于是

8． 设

是m 阶矩阵的特征值，证明也是n 阶矩阵BA 的特征值.

【答案】根据特征值的定义证明.

设A 是矩阵AB 的任-非零特征值，是对应于它的特征向量. 即有用矩阵B 左乘上式两边，

得

若再由

则由特征值定义知，为BA 的特征值. 下面证明.

式得

因此

事实上，由特征向量

有

二、解答题

9． 设

（1）计算行列式∣A ∣；

（2）当实数a 为何值时，线性方程组【答案】

有无穷多解？并求其通解.

若要使得原线性方程组有无穷多解，则有及得

此时，原线性方程组增广矩阵为

进一步化为行最简形得

可知导出组的基础解系为非齐次方程的特解为故其通解为k 为任意常

数.