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一、计算题

1． 设

【答案】

求一个可逆阵P ，使PA 为行最简形.

故并且A 的行最简形为

2． （1）设

（2）设

求

求

【答案】因A 是对称阵，故正交相似于对角阵 ⑴由

求得A 的特征值为对应

解方程（A-E ）x=0，由

得单位特征向量

对应

解方程（A-5E ）x=0，由

得单位特征向量令

则P 是正交阵，且有

（2）这是求矩阵A 的多项式的问题.A 的特征多项式

于是A 的特征值

因为A 是对称阵，则存在正交阵也即

其中

这样，只需计算出

即对应

解方程（A+E）x=0，由

得单位特征向量

代入（1）式，即求得

3． 设n 阶矩阵A 与S 阶矩阵B 都可逆，求

使

并且Q 的列向量是对应特征值的单位特征向量，i=l，2, 3. 从而有

的单位特征向量，代入上式即得

【答案】（1）因A 和B 均可逆，作分块阵由分块矩阵乘法规则，

于是⑵求

可逆，且

的逆阵，就是求n+s阶方阵x ，使

为此，根据原矩阵的分块情况，对x 作一样的分块，其中

把上式代入（1）式得到

比较上式两端两个矩阵，有

于是得

4． A 取何值时，非齐次线性方程组

⑴有惟一解；⑵无解；（3）有无穷多解？ 【答案】系数矩阵A 的行列式为

是未知矩阵（为明确起见，它们依次是

. 矩阵）

当当

时，即当时，增广矩阵成为

时，R （A ）=3, 方程组有惟一解；