2017年湖南师范大学高等数学之工程数学—线性代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 设A 为n 阶矩阵，
证明
与A 的特征值相同.
的根，同样
的特征值是特征多项式
的根，
【答案】A 的特征值是特征多项式
从而A 与
的特征值也相同.
但根据行列式性质1，这两个特征多项式是相等的：
2． 已知向量组A
:B
；证明B 组能由A
组线性表示，但A 组不能由B 组线性表示.
【答案】B 组能由A 组线性表示A 组不能B 组线性表示体计算如下：
于是R （B ）=2，R （B ，A ）=3, 并且上式右端矩阵的后三列所构成矩阵与矩阵A 行等价，继续对它作初等行变换，得
所以R （A ）=3.合起来有
3． 设矩阵
【答案】先求x ，y :
因得y=l+x.
因
是A 的特征值，有
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具
于是，B 组能由A 组线性表示，且A 组不能由B 组线性表示
与相似，求x , y ; 并求一个正交阵P ，使
相似，故A 的特征值是5，-4，y , . 由特征值性质：
5+（-4）+y=A的特征值之和=A的对角元之和=2+x.
由
再求正交阵P. 对应
得x=4.再代入y=l+x，得y=5.于是A 的特征值为
解方程（A-5E ）x=0，由
得基础解系
把它们正交化、单位化，得
对应于
解方程（A+4E）x=0, 由
得单位特征向量
则P 是正交阵，且有
4． 设A , B 都是n 阶矩阵，且A 可逆，证明AB 与BA 相似.
【答案】因A 可逆，故
5． 已知3阶矩阵A 与3维列向量X 满足
（2）求
，本题的困难在于
由定义，AB 与BA 相似. 且向量组
线性无关.
（1）记y=Ax，z=Ay，P=（x ，y ，z ），求三阶矩阵B ，使AP=PB; 【答案】（1）因矩阵P 的列向量组线性无关，故P 可逆，从而
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没有具体给出A 和P 的元素，而是它们之间的一些关系式. 下面就利用这些关系式来计算B.
因
，故
于是
（其实，矩阵B 就是向量组Ax ，Ay ，Az 由向量组x , y , z 线性表示的系数矩阵）。 （2）由
6． 设AP=PA,
其中
求
，两边取行列式，便有
【答案】因
故P 是可逆阵. 于是，由AP=PA得有因于是
是三阶对角阵，故
并且记多项式
7． 判定下列向量组是线性相关还是线性无关：
（1）
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