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一、证明题

1． 通过对F （x , y ）=sinxcosy施用中值定理，证明对某

【答案】在

则

即

.

2． 证明:

（1）若f 为凸函数,

为非负实数, 则

为凸函数； 上凸増函数, 则

为I 上凸函数.

和任

（2）若f , g 均为凸函数, 则f+g为凸函数； （3）若f 为区间I 上凸函数, g 为意.

总有

两边同乘非负实数, 得到

即

故有

两式相加得到

即

故f+g为凸函数.

（3）由凸函数的定义知, 对于任意因为g 为

上的增函数, 所以

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，有

中，令

【答案】（1）设f 为定义在区间I 上的凸函数, 由凸函数的定义知,

对任意

为凸函数.

和任意

总

（2）设f , g 均为区间I 上的凸函数, 由凸函数的定义知, 对任意

, 有

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又因为g 为凸函数, 所以

由这两个式子可得

故

为I 上的凸函数.

, 且线性变换

变为方程证明

:

.

其中u （x , y）具有二阶连续偏导数. 为方程

的两个不同实根.

, 于是

同理

将其代入方程中整理得

由已知条件, 原方程变为

, 所以有

由

知, 一元二次方程

有两个不等的实根, 而由前两个方程知

把方程

3． 设常数A , B

,

C

满足

【答案】由已知得关系式

. 为方程的两个根, 由第三个不等式知

4． 证明:

f 为

I 上凸函数的充要条件是对任何, 函数. 函数.

【答案】充分性, 设

为[0, 1]上的凸函数,

则对任何的

及

故f （x ）为I 上的凸函数.

必要性, 设f （x ）为I 上的凸函数, 则对任何的

及

有

为[0, 1]上的凸. , 有

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故

为[0, 1]上的凸函数.

二、解答题

5． 求下列幂级数的收敛区间:

（1）（2）

【答案】（1）记

, 则

所以原幂级数的收敛区间为（﹣1, 1）. （2）令

, 则原级数变为

. 记

, 则

所以原幂级数的收敛区间为

, 即

-或

.

6． 讨论下列函数列在所示区间D 上是否一致收敛或内闭一致收敛, 并说明理由:

（1）（2）（3）（4）（5）

【答案】（1）任意

设

则

所以

在D 上一致收敛, 且

设

则

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.

（2）任意