2018年昆明理工大学理学院617数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 计算第一型曲线积分
【答案】方法一 写出曲线的参数方程:
因为
所以
方法二 由对称性可知, 只需考虑沿上半圆周
的积分, 这时
所以
2． 求
【答案】由上的最值问题.
令当当
或或
即即
, 则
或时, z=f （x , y ）取最大值或
时, z 取最小值
.
, 最小值为
.
;
在区域D
上的最大值和最小值.
=0.再考虑边界, 且f （0, 0）得稳定点为（0, 0）
将其与f （0, 0） =0进行比较知, 所求函数的最大值为
3． 己知为三维空间中的有界区域, 的边界为分段光滑的曲面,
于是有
为外法向量, u （x , y , z ）在
上连续可偏导. 求证
:【答案】不妨设
4． 以
分别表示各双曲函数的反函数. 试求下列函数的导数:
. 由
得
.
,
当
,
故
, 于是
（5）
（6）由（1）得, 5． 设
【答案】对当
, 取
邻域
讨论
,
, 即
时, 有
于是由
个偏导数存在；
【答案】（1）把上式中的x 替换为
（2）（3）（4
）
得
. 于是
，
时
, ,
由,
得
在原点处的连续性、偏导数存在性及可微性.
属于（0, 0）的
在原点处连续；
及
知f （x , y ）在原点处的两
记
当
时, 因
可知
不可微. 6． 设大值.
【答案】先求f 在条件
下的最大值. 设
令
解得
于是f 在条件故f 在条件
下的最大值为下的最大值为
为已知的n 个正数, 求
在限制条件
下的最
不能写成
的形式,
即
在原点处
二、证明题
7． 设f 为傅里叶系数, 证明
【答案】因为f
为又
故
上的光滑函数, 且为f 的傅里叶级数为f 的导函数的
上的光滑函数, 所以f （x ）在上有连续的导函数
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