2018年吉林师范大学数学学院828数学分析一考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
在
上单调增加,
不成立, 那么显然则对
存在
使得
证明:
收敛, 并求其极限. 证明:
.
由于
与单调性矛盾, 因此假设不成立.
显然M 是非空的, 下证
【答案】设用反证法, 假设不妨设
是连续函数, 则对于任意的
于是 2． 设
【答案】先用数学归纳法可证:
再用数学归纳法证明:
显然
归纳假设
则
从而②式成立. 由①, ②式知.
单调递增有上界, 注意到
3． 设
（1）（2）（3）
.
, 证明下列各式:
;
;
极限存在, 可设
②
①
即证得
并讨论备不等式中等号成立的条件和解释n=2时的几何意义.
【答案】（1）此不等式的证明要用到詹森不等式:若, 为[a, b]上凸函数, 则对任意
有
现取. 式, 有
即
故
当n=2时, 不等式为
等式成立的充要条件为
.
.
, 则
为R 上的凸函数, 令
则由詹森不等
图1
此不等式的几何意义为（见图1）:在任意一直角三角形中, 以斜边所作正方形的对角线的长大于或等于两直角边长之和.
（2）
因为此处利用了不等式等号成立的充要条件为
或
也就是
即
即
所以
图2
故等号成立的充要条件为x 与y 正交, 当n=2时不等式的几何意义为（见图2）; 以向量x , y 为邻边的 平行四边形的两对角线的乘积小于或等于以向量x , y 为边的两正方形面积之和.
（3）由三角不等式有
即
*
又
即
所以
等号成立的条件为y=kx （k 为实数）, 当n=2时等式的几何意
义为:任一三角形中一边大于或等于另外两边之差. 4． 若
（1）
, 级数
发散,
, 证明: •收敛. （固定）, 取适当大, 可使
. 由于, 于是有
由柯西准则知, 级数（2）因为
, 所以
而级数
收敛于
, 故
收敛.
发散.
,
发散; （2）
【答案】（1）用柯西准则 取
所以对固定的N , 存在
趋向于
二、解答题
5． 设
S
求级数
的和. ，
：，则，则
的收敛区间为（﹣1, 1），;
, 从而
【答案】设令令则
，