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一、证明题

1． 证明:若级数

与

收敛, 则级数

和

也收敛, 且

【答案】因为

又所以

及

均收敛, 所以

收敛, 故

收敛. 又因为

及闵可夫斯基不等式

对

2． 按

（1）

（2）

（3）

【答案】（1）

对任意

由

则当

时.

（2）因为

所以

对任意

由

得

取

则当

时,

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收敛, 故由柯西﹣施瓦兹不等式

取极限, 进而可得所证明的不等式. 定义证明:

故

（3）当n 为偶数时,

当n 为奇数时,

对任意

取

则当

时,

, 故

3． 设函数f 在[a, b]上有定义, 且对于任给的

使得

证明f 在[a, b]上可积. 【答案】因为, 存

在相应的分割T , 使得

, 因此

这里

存在[a, b]上的可积函数g ,

又因为函数g （x ）在[a, b]上可积,

所以对任给的表示函数g （x ）在相应小区间上的振幅. 所以

而

4． 设

【答案】

, 证明

, 故

即f 在上可积.

5． 设z=siny+f（sinx －siny ）, 其中f 为可微函数，证明:

【答案】设u=sinx－siny , 则

所以

二、解答题

6． 图所示为河道某一截面图. 试由测得数据用抛物线法求截面面积

.

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图

【答案】由定积分近似计算抛物线法公式得到

7． 求一曲线y=f（x ）, 使得在曲线上每一点（x , y ）处的切线斜率为2x , 且通过点（2, 5）.

【答案】由题意, 有

, 即

又由于y=f（x ）过点（2, 5）, 即5=4+C, 故C=l.因而所求的曲线为 8． 设

’

求

.

.

【答案】方法一作变量代换t=x—2, 则

方法二因为

所以

9． 设f （x , y）为定义在平面曲线弧段

（1）试证明

是否成立? 为什么?

使

这里

为

的弧长, 又f （x , y ）在

上恒大于零, 则

（2）不一定成立, 如取

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上的非负连续函数, 且在上恒大于零.

（2）试问在相同的条件下, 第二型曲线积分【答案】（1）由题意知, 存在点

, 所以由①知

.

=1, 则为从A （0, 0）到B （0, 1）的直线段, 取f （x , y ）