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一、计算题

1． 把函数

在（0, 1）上展开成余弦级数, 并推出

【答案】将f （x ）作周期为2的偶延拓, 得一连续的延拓函数

.

由收敛定理, 在（0, 1）内

当x=0时, 因延拓函数连续, 故上式右端收敛到f （0）,

即

2． 设

, 求

【答案】

3．

设级数收敛，是f （x ）在区间

而

上的正弦级数，求

【答案】对任意的m 、n>0,

由于法知

收敛，故由魏尔斯特拉斯判别

一致收敛，所以由一致收敛函数列的性质知

4． 求下列函数的高阶导数:

（1）（2）（3）（4）【答案】 （1）（2）

（3）

（4）

由莱布尼茨公式有

5． 求指数, 使得曲线积分

【答案】设

,

, 则

, 求, 求

, 求, 求

; ;

; .

.

,

,

’与路线无关, 并求k.

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由

得

. 这时

, 所以积分与路径无关, 由于 I.

及

所以

6． 求一曲线y=f（x ）, 使得在曲线上每一点（x , y ）处的切线斜率为2x , 且通过点（2, 5）.

【答案】由题意, 有

, 即

又由于y=f（x ）过点（2, 5）, 即5=4+C, 故C=l.因而所求的曲线为

.

二、证明题

7

．

设p

为正整数.

证明:

若p

不是完全平方数,

则

【答案】反证法. 假设使得

8． 设

D （x ）为狄利克雷函数,

【答案】令和无理数

使得

对任意的

证明:

不存在.

中存在有理数

不存

于是

这与m , n互质矛盾,

所以

是无理数.

是有理数. 由于p 不是完全平方数, 于是存在两个互质的正数m , n , 且

由此得

是无理数.

由于

所以存在质数

于是

. 由有理数和无理数的稠密性可知, 在, 于是

. 根据柯西准则,

在.

9． 设f 为[a, b]上的增函数, 其值域为

. 证明f 在[a, b]

上连续.

. 设.

. 因为f 为. 因为当

同理有

【答案】用反证法. 假如f 在

[a, b]上不连续,

则f 有间断点上的增函数, 所以时,

与

都存在. 设

, 由函数极限的保不等式性得