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一、计算题

1． 求由椭圆

【答案】设

. 所界的面积, 其中则

所以椭圆面积

2． 是否存在

由

时, 由

由又知由于是

这与连续, 可知

存在及的连续可导函数

知,

为满足:在

且

则

当

【答案】方法一 若存在满足这些条件的函数,

上严格单调递増, 又

由

存在, .

根据单调有界定理,

从而存在, 必有

矛盾, 所以假设不成立,

.

所以这样的函数不存在.

方法二 假若存在满足这些条件的函数, 由又由对于是从而显然, 当

时, 有

3． 求由下列曲线所围的平面图形面积:

（1）（2）（3）

【答案】（1）令

, 故

从而

, 得有

这与条件矛盾, 所以这样的函数不存在.

知

在

上严格单调递增,

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x+y=a变换成u=a

, x+y=b

变换成u=b

, y=ax变换成（2）令变换成

即

所以曲面面积为

（3）令当

时

,

则

即

从而方程

变换成

, 由图形（如图）的对称性可知图形面积

:

, 则

从而方程

变换成

所以图形面积

图

4． 求曲线

（a>0, b>0）的全长.

【答案】将曲线改写成参数方程, 并计算微弧:

贅

因此

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二、证明题

5

．

证明:若

【答案】（1）若因

为

（2）当且仅当证明如下:由于是

如果

6． 设n 为整数, 若函数的充要条件是

【答案】方法一 令

函数求偏导数得

再由条件

得出

, 这意味着F 只是的函数,

即

或

, 所以

同样得到F 只是的函数.

7． 设

在[a, b]上逐点收敛且具有性质：

在[a, b]上一致收敛.

在[a, b]上是等度一致连续的，又在[a, b]上一致收敛.

当且仅当

a 为何值时反之也成立?

则对任意

存在N , 使得n>N时,

当

时, 也有

于是

所以对于任意

时, 由知, 对任意数列

可推出存在N , 当满足

此时, 命题变为:

时,

但数列

即是发散的.

, 则称f 是n 次齐次函数

.

证明:f （

x , y）是零次齐次

, 变换把f （x , y）变为, 即

. , 由复合

.

作为自变量, 因为

方法二上面复合函数求偏导数时是把

x , y 作为自变量, 也可以把

且时，

有.

用有限覆盖定理证明

即由Osgood 定理，得

【答案】由题设条件，知在[a, b]上逐点收敛，