2018年华中师范大学数学与统计学学院717数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 利用单调有界原理证明下列结论:
（1）设（2）设（3）
设且相等.
【答案】（1）因为
, 所以{Xn }单调递增. 由不等式
9
即{Xn }有上界, 从而数列{Xn }收敛. （2）因为
所以又因为
, 即{Xn }单调递减.
, 所以
即{Xn }有下界. 从而数列{Xn }收敛. （3）由已知所以当
时有
又
所以{Xn }单调递减, {以单调递增, 从而当
时, 有
即{Xn }有下界, {Yn }有上界, 从而它们的极限都存在. 设其极限分别为x 和y ,
则对
两边取极限得x=y.
, 使得
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, 则数列{Xn }收敛; , 则数列{Xn }收敛;
, 则
与
都存在
得
因为
2． 设f 在[a, b]上三阶可导, 证明存在
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【答案】令
则F （x ）, G （x
）在又因为
所以
在区间使得
上对函数
由
可得
因此
3． 按定义证明下列极限:
（1）（4）
（2）（5
）
由
得
.
取
则当
时, 有
故
（2）限制
则
于是, 对任意给定的
只要取
* 则当
第
3 页，
共
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上满足柯西中值定理的条件,
于是存在
, 使得
应用柯西中值定理可得, 存在,
（
3）
【答案】（1）对任意给定的
时, 有
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故（3）
对任意给定的
由
得
它成立的一个充分条件是取则当时有
故（4）若限制
则
时, 有
对任给的故（5）
, 取
于是
则当
对任给的
取
则当
时. 就有
故 4． 设
【答案】要证即只要证因
故
证明只要证
即证
因此只要证由
即只要证知,
单调增加, 假如
；
有上界, 则
必有极限a ,
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