2018年南京农业大学理学院822高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设向量组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为所以向量组线性无关.
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.
记
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设知，所以
则A=（ ）.
线性无关.
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）.
3． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】
4．
设线性方程组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】设即证
5． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则. 则
与
的解空间分别为阶方阵，且秩的解都是线性方程组
有无穷多解
必有惟一解
必有非零解
秩A , 则线性方程组（ ）.
秩
的解, 则（ ）.
则所以
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解 有非零解
有惟一解
只有零解 有零解.
C. 如果A 有阶子式不为零，则，D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】
未知量个数
二、分析计算题
6． 设
是两个实二次型且B
正定. 证明
：
使
其中
（2）上述的
为
的实根.
，使
且
是实对称阵，从而存在正交阵
使
【答案】 （1） B 正定. B合同于E ，从而存在实可逆阵
（1）存在满秩线性变换
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其中
且由①，②可得
这时，令
由③，④两式知
（2）由上面③，④两式可得
两边取行列式有
由⑥式即证为
7． 设
问a ，b 满足什么条件
正定.
的实根.
为
的全部特征值
. 令
则
T 为实可逆阵
，
【答案】 （1）当变元的个数为偶数2m
时，f 的矩阵为
于是
故A 的特征值为
（2）当变元的个数为奇数
正定
（均为m 重），故
时，
综上所述，f 正定
正定.
故A 的特征值为
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